Нахождение длины дуги кривой, заданной параметрически

Определение предмета:

Данное задание относится к математике, точнее к ее разделу — математический анализ. Это задача на нахождение длины дуги кривой, заданной параметрически, которая изучается в курсе дифференциального и интегрального исчисления.

Решение задачи:

Задача состоит в нахождении длины дуги кривой, заданной параметрически. Формулы для вычисления длины кривой находятся в разделе геометрия в пространстве, и мы используем формулу для длины дуги параметрически заданной кривой:

Формула длины дуги

Если кривая задана параметрически уравнениями \( x = x(t) \) и \( y = y(t) \) на интервале \( [t_1, t_2] \), то длина дуги рассчитывается по формуле:

\[ L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} dt \]

Шаг 1: Найдем производные \( \frac{dx}{dt} \) и \( \frac{dy}{dt} \).

1. Функция \( x(t) \):

   \[ x(t) = e^t (\cos t + \sin t) \]

   Применим правило Лейбница для нахождения производной произведения:

   \[ \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left( e^t (\cos t + \sin t) \right) = e^t (\cos t + \sin t) + e^t (-\sin t + \cos t) \]

   Упростим:

   \[ \frac{dx}{dt} = e^t \left[(\cos t + \sin t) + (\cos t - \sin t)\right] = e^t (2 \cos t) \]

2. Функция \( y(t) \):

   \[ y(t) = e^t (\cos t - \sin t) \]

   Опять применим правило Лейбница:

   \[ \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left( e^t (\cos t - \sin t) \right) = e^t (\cos t - \sin t) + e^t (-\sin t - \cos t) \]

   Упростим:

   \[ \frac{dy}{dt} = e^t \left[ (\cos t - \sin t) + (-\sin t - \cos t) \right] = -2e^t \sin t \]

Шаг 2: Подставим производные в формулу для длины дуги

Теперь вычислим выражение под знаком корня:

\[ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 = \left( 2e^t \cos t \right)^2 = 4e^{2t} \cos^2 t \]

\[ \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 = \left( -2e^t \sin t \right)^2 = 4e^{2t} \sin^2 t \]

Теперь сложим их:

\[ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 = 4e^{2t} \cos^2 t + 4e^{2t} \sin^2 t = 4e^{2t} (\cos^2 t + \sin^2 t) = 4e^{2t} \]

Шаг 3: Найти длину дуги

Теперь можем подставить в формулу для длины дуги:

\[ L = \int_0^{3\pi/2} \sqrt{4e^{2t}} dt = \int_0^{3\pi/2} 2e^t dt \]

Теперь вычислим сам интеграл:

\[ L = 2 \int_0^{3\pi/2} e^t dt = 2 \left[ e^t \right]_0^{3\pi/2} = 2 \left( e^{3\pi/2} - e^0 \right) = 2 \left( e^{3\pi/2} - 1 \right) \]

Ответ:

Длина дуги кривой на интервале от \( t = 0 \) до \( t = 3\pi/2 \) равна:

\[ L = 2 \left( e^{3\pi/2} - 1 \right) \]

Это финальный ответ.