Методом простой итерации найти корень уравнения lnx + 2x - 4 = 0 с точностью 0,05

1. Определение предмета и раздела

Это задание относится к математическому анализу, разделу, связанному с численными методами решения уравнений. Потребуется применить метод простой итерации для нахождения корня уравнения нелинейной функции.

2. Исходное уравнение

У нас дано уравнение: \[ \ln(x) + 2x - 4 = 0 \]

Цель: найти корень уравнения с точностью до 0.05.

3. Приведение уравнения к виду для метода итерации

Метод простой итерации требует преобразования уравнения в форму \( x = g(x) \), где \( g(x) \) — некоторая функция. Перепишем уравнение \( \ln(x) + 2x - 4 = 0 \) следующим образом:

\[ \ln(x) = 4 - 2x \]

Теперь выразим \( x \) через \( g(x) \):

\[ x = e^{4 - 2x} \]

Это и будет функцией \( g(x) \).

Теперь определим метод итерации как:

\[ x_{n+1} = e^{4 - 2x_n} \]

4. Выбор начального приближения

Теперь нужно выбрать начальное приближение \( x_0 \). Для этого находим начальные приближённые значения корня. Сделаем несколько пробных подстановок в исходное уравнение:

1. Подставим \( x_0 = 1 \): \[ \ln(1) + 2 \cdot 1 - 4 = 0 + 2 - 4 = -2 \]
2. Подставим \( x_0 = 1.5 \): \[ \ln(1.5) + 2 \cdot 1.5 - 4 \approx 0.4 + 3 - 4 = -0.6 \]
3. Подставим \( x_0 = 2 \): \[ \ln(2) + 2 \cdot 2 - 4 \approx 0.69 + 4 - 4 = 0.69 \]

Итак, поскольку знак изменяется между 1.5 и 2, можно выбрать \( x_0 = 1.7 \) как начальное значение для итерационного процесса.

5. Итерационный процесс

Итерации продолжаем до достижения точности по правилу \( |x_{n+1} - x_n| < 0.05 \).

1. При \( x_0 = 1.7 \): \[ x_1 = e^{4 - 2 \cdot 1.7} = e^{4 - 3.4} = e^{0.6} \approx 1.822 \]
2. При \( x_1 = 1.822 \): \[ x_2 = e^{4 - 2 \cdot 1.822} = e^{4 - 3.644} = e^{0.356} \approx 1.428 \]
3. При \( x_2 = 1.428 \): \[ x_3 = e^{4 - 2 \cdot 1.428} = e^{4 - 2.856} = e^{1.144} \approx 3.140 \]
4. При \( x_3 = 3.140 \): \[ x_4 = e^{4 - 2 \cdot 3.140} = e^{4 - 6.280} = e^{-2.280} \approx 0.102 \]

Мы видим, что процесс итерации не сходился явно с выбранной функцией \( g(x) \). Это свидетельствует о том, что выбранный вид функции не подходит для сходимости.

6. Альтернативная итерационная схема

Попробуем другой вариант: выразим \( x \) через другое выражение, например:

\[ x = \frac{4 - \ln{x}}{2} \]

Тогда итерационный процесс будет:

\[ x_{n+1} = \frac{4 - \ln{x_n}}{2} \]

Теперь применим этот метод итерации.

1. При \( x_0 = 1.7 \): \[ x_1 = \frac{4 - \ln{1.7}}{2} = \frac{4 - 0.531}{2} = \frac{3.469}{2} \approx 1.735 \]
2. При \( x_1 = 1.735 \): \[ x_2 = \frac{4 - \ln{1.735}}{2} = \frac{4 - 0.550}{2} = \frac{3.450}{2} \approx 1.725 \]
3. При \( x_2 = 1.725 \): \[ x_3 = \frac{4 - \ln{1.725}}{2} = \frac{4 - 0.547}{2} = \frac{3.453}{2} \approx 1.726 \]

Заметим, что разница между \( x_2 \) и \( x_3 \) составляет:

\[ |x_3 - x_2| = |1.726 - 1.725| = 0.001 \]

Таким образом, корень уравнения с точностью до 0.05 равен: