Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и по результатам исследования построить её график

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Дифференциальное исчисление)

Исследуем функцию:
y = (x - 1)e^{3x+1}

1. Область определения

Функция определена при всех x \in \mathbb{R}, так как экспоненциальная функция определена на всей числовой прямой.

2. Нахождение первой производной

Используем правило дифференцирования произведения:
(uv)' = u'v + uv',
где u = (x - 1), v = e^{3x+1}.

Находим производные:
u' = 1,
v' = e^{3x+1} \cdot 3 = 3e^{3x+1}.

Тогда первая производная:
y' = (x - 1) \cdot 3e^{3x+1} + e^{3x+1} \cdot 1.

Вынесем общий множитель e^{3x+1}:
y' = e^{3x+1} (3(x - 1) + 1).

Упростим выражение в скобках:
y' = e^{3x+1} (3x - 3 + 1) = e^{3x+1} (3x - 2).

3. Критические точки (экстремумы)

Найдем точки, где y' = 0:
e^{3x+1} (3x - 2) = 0.

Так как экспоненциальная функция никогда не равна нулю, приравняем к нулю скобку:
3x - 2 = 0.

Решая уравнение, получаем:
x = \frac{2}{3}.

4. Определение характера экстремума

Рассмотрим знак y' слева и справа от x = \frac{2}{3}.

• Если x < \frac{2}{3}, то 3x - 2 < 0, а e^{3x+1} > 0, значит y' < 0 (функция убывает).
• Если x > \frac{2}{3}, то 3x - 2 > 0, а e^{3x+1} > 0, значит y' > 0 (функция возрастает).

Следовательно, в точке x = \frac{2}{3} функция имеет минимум.

Найдем значение функции в этой точке:
y\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3} - 1\right) e^{3 \cdot \frac{2}{3} + 1}.

Упростим:
y\left(\frac{2}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right) e^{3}.

5. Нахождение второй производной

Используем правило дифференцирования произведения:
y' = e^{3x+1} (3x - 2).

Дифференцируем:
y'' = (e^{3x+1} \cdot 3) (3x - 2) + e^{3x+1} \cdot 3.

Вынесем общий множитель e^{3x+1}:
y'' = e^{3x+1} \cdot (9x - 6 + 3) = e^{3x+1} \cdot (9x - 3).

Подставляем x = \frac{2}{3}:
y''\left(\frac{2}{3}\right) = e^{3} \cdot (9 \cdot \frac{2}{3} - 3) = e^{3} \cdot (6 - 3) = 3e^{3} > 0.

Так как y'' > 0, точка x = \frac{2}{3} является точкой минимума.

6. Асимптоты

• Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой прямой.
• Горизонтальных асимптот нет, так как экспоненциальный множитель растет бесконечно.
• Косая асимптота:
  Рассмотрим поведение функции при x \to -\infty.
  Так как экспонента стремится к нулю, функция приближается к y \approx (x - 1) \cdot 0 = 0.

7. Построение графика

График функции имеет минимум в точке \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3} e^3\right), убывает при x < \frac{2}{3} и возрастает при x > \frac{2}{3}.

Функция стремится к нулю при x \to -\infty и растет экспоненциально при x \to +\infty.

Вывод:
Функция имеет одну критическую точку — минимум в x = \frac{2}{3}.
График проходит через точку (1, e^4) и имеет экспоненциальный рост при больших x.