Методами дифференциального исчисления.

Пример 1:

Исследовать данную функцию методами дифференциального исчисления и построить график

Решение от преподавателя:

1) область определения – вертикальные асимптоты

2) функция четная, т. к. f(x)=f(-x)

3) точки пересечения с осями координат

С осью абсцисс график не пересекается

4) наклонные асимптоты

5) точки минимума и максимума

Интервал	-∞;-1	-1	-1;0	0	0;1	1	1;+∞
Х	-2	-1	-0,5	0	0,5	1	2
Y'	+	Не сущ.	+	0	-	Не сущ.	-
Y	↑	Не сущ.	↑	-1 максимум	↓	Не сущ.	↓

 

6) Точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости

Т. к. вторая производная не обращается в нуль, то точек перегиба не будет

 

 

 

Пример 2:

Методами дифференциального исчисления:

• исследовать функцию y(x)=(e^3x-e^-3x)/2  и построить её график;
• найти наибольшее и наименьшее значения функции y(x)=(e^3x-e^-3x)/2 .

Решение от преподавателя:

1. Область определения -  , точек разрыва нет.

2. Область значений - .

3. функция общего вида, пересекает оси координат в точке (0, 0).

4. интервалы монотонности:

Корней нет – нет и критических точек.

Знак производной - всегда положительный. Функция монотонно возрастает.

5. интервалы выпуклости, вогнутости.

Корень уравнения, х=0 - точка перегиба.

Ищем знак второй производной на интервалах:

6. Асимптоты.

Вертикальной нет – нет точек разрыва.

Поскольку , горизонтальных нет.

Проверим, есть ли наклонная асимптота вида y=kx+b.

Найдем , наклонной также нет.

7. строим график: