Метод неявного дифференцирования

Это задание по математике, в частности - раздел дифференциальное исчисление и методы дифференцирования неявных функций.

Функция \( y(x) \) задается неявно уравнением: \[ x \cdot e^y + x^2 e^{2y} - 2 = 0. \] Требуется найти производную \( y'_x(1) \). Для этого применим метод неявного дифференцирования. Дифференцируем каждую часть уравнения по \( x \), помня, что \( y \) является функцией от \( x \) и применяем правило производной сложной функции.

Исходное уравнение: \[ x \cdot e^y + x^2 e^{2y} - 2 = 0. \] Дифференцируем каждое слагаемое:

1. Производная от \(x \cdot e^y\): \[ \frac{d}{dx} (x \cdot e^y) = e^y + x \cdot e^y \cdot \frac{dy}{dx} = e^y + x \cdot e^y \cdot y'. \]
2. Производная от \(x^2 e^{2y}\): \[ \frac{d}{dx} (x^2 e^{2y}) = 2x \cdot e^{2y} + x^2 \cdot e^{2y} \cdot 2 \cdot \frac{dy}{dx} = 2x \cdot e^{2y} + 2x^2 \cdot e^{2y} \cdot y'. \]
3. Производная от константы \( -2 \) равна 0.

Все вместе: \[ e^y + x \cdot e^y \cdot y' + 2x \cdot e^{2y} + 2x^2 \cdot e^{2y} \cdot y' = 0. \] Сгруппируем члены с \( y' \): \[ e^y + 2x \cdot e^{2y} + y' (x \cdot e^y + 2x^2 \cdot e^{2y}) = 0. \] Выразим \( y' \): \[ y' (x \cdot e^y + 2x^2 \cdot e^{2y}) = - (e^y + 2x \cdot e^{2y}). \] Итак, производная \( y' \) будет равна: \[ y' = \frac{-(e^y + 2x \cdot e^{2y})}{x \cdot e^y + 2x^2 \cdot e^{2y}}. \] Теперь подставим \( x = 1 \) и найдем соответствующее значение \( y \).

Для этого решим исходное уравнение при \( x = 1 \): \[ 1 \cdot e^y + 1^2 \cdot e^{2y} - 2 = 0, \] \[ e^y + e^{2y} - 2 = 0. \] Пусть \( t = e^y \), тогда получаем квадратное уравнение: \[ t + t^2 - 2 = 0, \] \[ t^2 + t - 2 = 0. \] Решаем это уравнение: \[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}. \] Получаем два решения: \[ t_1 = 1 \quad (\text{так как } t = e^y, t > 0), \] Соответственно, \( e^y = 1 \), и поэтому \( y = 0 \).

Теперь подставим \( x = 1 \) и \( y = 0 \) в выражение для производной: \[ y' = \frac{-(e^0 + 2 \cdot 1 \cdot e^{2 \cdot 0})}{1 \cdot e^0 + 2 \cdot 1^2 \cdot e^{2 \cdot 0}} = \frac{-(1 + 2 \cdot 1)}{1 \cdot 1 + 2 \cdot 1^2} = \frac{-(1 + 2)}{1 + 2} = \frac{-3}{3} = -1. \] Итак, \( y'(1) = -1 \).