Математический анализ (Пределы последовательностей)

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Пределы последовательностей)

Дано выражение:

 \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{7} + \frac{4}{49} + \dots + \left(\frac{2}{7}\right)^{n-1} \right). 

Это сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом

 a_1 = 1, 

и знаменателем

 q = \frac{2}{7}. 

Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна:

 S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} = \frac{1 - \left(\frac{2}{7}\right)^n}{1 - \frac{2}{7}}. 

В знаменателе:

 1 - \frac{2}{7} = \frac{7}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}. 

Тогда сумма:

 S_n = \frac{1 - \left(\frac{2}{7}\right)^n}{\frac{5}{7}} = \frac{7}{5} \left(1 - \left(\frac{2}{7}\right)^n \right). 

Теперь найдём предел при n \to \infty:

Поскольку \left|\frac{2}{7}\right| < 1, то

 \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{7}\right)^n = 0. 

Следовательно,

 \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{7}{5} (1 - 0) = \frac{7}{5} = 1.4. 

Ответ:

 \boxed{\frac{7}{5}}.