Математический анализ (непрерывность функции нескольких переменных)

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (непрерывность функции нескольких переменных)

Нам дано задание исследовать функцию

 f(x, y) = \sqrt{4 - x^2 - y^2} 

на непрерывность.

Шаг 1: Определение непрерывности функции

Функция непрерывна в точке, если в этой точке существует предел функции и он равен значению функции в этой точке.

То есть, функция  f(x, y)  непрерывна в точке  (x_0, y_0) , если выполняется следующее условие:

 \lim\limits_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = f(x_0, y_0) .

Перед тем как проверять это условие, сначала определим область определения функции.

Шаг 2: Область определения функции

Функция содержит квадратный корень. Напомним, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть:

 4 - x^2 - y^2 \geq 0 .

Преобразуем неравенство:

 x^2 + y^2 \leq 4 .

Это означает, что функция определена внутри и на границе круга радиуса 2 с центром в начале координат:

 x^2 + y^2 \leq 4 .

Шаг 3: Проверка непрерывности внутри области определения

Внутри круга  x^2 + y^2 < 4  подкоренное выражение положительно, и функция  f(x, y)  является комбинацией непрерывных функций (разность, квадрат, корень).

Так как арифметические операции над непрерывными функциями дают непрерывную функцию, то внутри круга функция непрерывна.

Шаг 4: Проверка непрерывности на границе круга

На границе круга, где  x^2 + y^2 = 4 , подкоренное выражение обращается в ноль:

 f(x, y) = \sqrt{4 - 4} = \sqrt{0} = 0 .

Найдем предел функции при приближении к границе:

 \lim\limits_{(x, y) \to (x_0, y_0), x_0^2 + y_0^2 = 4} f(x, y) = \lim\limits_{(x, y) \to (x_0, y_0)} \sqrt{4 - x^2 - y^2} = 0 .

Так как предел совпадает со значением функции на границе, то функция непрерывна и на границе.

Вывод

Функция  f(x, y) = \sqrt{4 - x^2 - y^2}  непрерывна во всей своей области определения, то есть внутри и на границе круга  x^2 + y^2 \leq 4 .

Ответ: Функция непрерывна во всей своей области определения. ✅