Математический анализ (исследование функций на экстремумы с помощью частных производных)

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (исследование функций на экстремумы с помощью частных производных)

Нам нужно исследовать функцию
f(x, y) = x^3 - 3xy^2
на экстремумы с помощью частных производных.

Шаг 1: Найдём частные производные первого порядка

Частные производные первого порядка — это производные функции по каждой переменной при фиксированной другой переменной.

Частная производная по ( x ):
Берём производную функции f(x, y) = x^3 - 3xy^2 по ( x ), считая ( y ) константой:

 \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{dx} (x^3 - 3xy^2) = 3x^2 - 3y^2. 

Частная производная по ( y ):
Теперь берём производную функции по ( y ), считая ( x ) константой:

 \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{dy} (x^3 - 3xy^2) = -6xy. 

Шаг 2: Найдём критические точки

Критические точки — это точки, в которых частные производные обращаются в ноль. Решаем систему уравнений:

 \begin{cases} 3x^2 - 3y^2 = 0, \ -6xy = 0. \end{cases} 

Рассмотрим второе уравнение -6xy = 0. Оно выполняется при:

1. x = 0, или
2. y = 0.

Случай 1: ( x = 0 )
Подставляем в первое уравнение:

3(0)^2 - 3y^2 = 0 \Rightarrow -3y^2 = 0 \Rightarrow y = 0.

Получаем критическую точку (0,0).

Случай 2: ( y = x ) или ( y = -x )
Из первого уравнения:

3x^2 - 3y^2 = 0 \Rightarrow 3(x^2 - y^2) = 0 \Rightarrow x^2 = y^2.

То есть y = x или y = -x.
Подставляем в -6xy = 0:

1. Если ( y = x ), то -6x^2 = 0 \Rightarrow x = 0, значит, ( y = 0 ).
   Это уже найденная точка (0,0).

2. Если ( y = -x ), то -6x(-x) = -6(-x^2) = 6x^2 = 0, значит, ( x = 0 ), а значит, ( y = 0 ).
   Это та же точка (0,0).

Таким образом, у нас единственная критическая точка:
(0,0).

Шаг 3: Исследуем характер критической точки с помощью второй производной

Для этого найдём вторые частные производные:

1. Вторая производная по ( x ):  \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{d}{dx} (3x^2 - 3y^2) = 6x. 

2. Вторая производная по ( y ):  \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{d}{dy} (-6xy) = -6x. 

3. Смешанная производная:  \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{d}{dy} (3x^2 - 3y^2) = -6y. 

Записываем гессиан (второй дифференциал):

 D = \begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy} \ f_{yx} & f_{yy} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6x & -6y \ -6y & -6x \end{vmatrix}. 

Определитель Гессиана:

 D = (6x)(-6x) - (-6y)(-6y) = -36x^2 - 36y^2 = -36(x^2 + y^2). 

Подставляем (0,0):

 D(0,0) = -36(0^2 + 0^2) = 0. 

Так как ( D = 0 ), метод Гессиана не даёт однозначного ответа, и нужно дополнительно исследовать функцию.

Шаг 4: Анализ функции

Рассмотрим функцию вдоль осей:

• По оси ( x ) (при ( y = 0 )):
  f(x,0) = x^3.
  Это кубическая функция, которая имеет локальный минимум в ( x = 0 ).

• По оси ( y ) (при ( x = 0 )):
  f(0,y) = -3(0)y^2 = 0.
  Функция тождественно равна нулю.

• По прямой ( y = x ):
  f(x, x) = x^3 - 3x(x^2) = x^3 - 3x^3 = -2x^3.
  Это отрицательная кубическая функция, которая убывает при ( x > 0 ) и возрастает при ( x < 0 ).

Так как вдоль разных направлений функция ведёт себя по-разному (вдоль одной оси минимум, вдоль другой нет), точка (0,0) является седловой точкой.

Вывод

Функция не имеет локальных экстремумов, но в точке (0,0) есть седловая точка.