Математический анализ, функции нескольких переменных

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, функции нескольких переменных

Разбор задания

Нам нужно построить уровенную линию для функции:
 f(x, y) = x^2 + y^2 
при значении  f(x, y) = 4 .

Шаг 1: Понимание уровня функции

Уровенная линия функции — это множество точек  (x, y) , для которых функция принимает одно и то же значение.

В данном случае у нас задано уравнение:
 x^2 + y^2 = 4 .

Это уравнение окружности с центром в начале координат  (0,0)  и радиусом  r = \sqrt{4} = 2 .

Шаг 2: Определение типа кривой

Общее уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид:
 x^2 + y^2 = R^2 ,
где  R  — радиус окружности.

В нашем случае  R^2 = 4 , значит  R = 2 .

Шаг 3: Графическая интерпретация

Полученное уравнение  x^2 + y^2 = 4  описывает окружность:

• Центр:  (0,0) .
• Радиус:  2 .
• Окружность содержит все точки, для которых сумма квадратов координат равна 4.

Шаг 4: Построение окружности

Чтобы построить окружность, нужно отметить точки, которые удовлетворяют уравнению:

• На оси X: точки  (2,0)  и  (-2,0) .
• На оси Y: точки  (0,2)  и  (0,-2) .
• Дополнительные точки можно найти, подставляя значения  x  и вычисляя  y , например:
  • Если  x = 1 , то  y^2 = 4 - 1 = 3 \Rightarrow y = \pm \sqrt{3} .
  • Если  x = -1 , то  y^2 = 4 - 1 = 3 \Rightarrow y = \pm \sqrt{3} .

Соединяя эти точки плавной линией, получаем окружность радиуса 2.

Вывод

Уровенная линия функции  f(x, y) = x^2 + y^2  при значении  f(x, y) = 4  представляет собой окружность радиуса 2 с центром в начале координат.