Логарифмы

Предмет: Математика
Раздел: Логарифмы

Решим уравнение:

1 - \log_x(18) = \log_x(12) \cdot \log_x\left(\frac{2}{3}\right).

Шаг 1: Замена переменных для упрощения

Обозначим y = \log_x(12) и z = \log_x\left(\frac{2}{3}\right). Тогда уравнение примет вид:
1 - \log_x(18) = y \cdot z.

Шаг 2: Преобразование логарифма \log_x(18)

Используем свойства логарифмов:
\log_x(18) = \log_x(2 \cdot 3^2) = \log_x(2) + 2\log_x(3).

Заметим, что:

• \log_x(12) = \log_x(2^2 \cdot 3) = 2\log_x(2) + \log_x(3),
• \log_x\left(\frac{2}{3}\right) = \log_x(2) - \log_x(3).

Подставим это в уравнение.

Шаг 3: Выражение через \log_x(2) и \log_x(3)

Обозначим:
a = \log_x(2),
b = \log_x(3).

Тогда:
\log_x(12) = 2a + b,
\log_x\left(\frac{2}{3}\right) = a - b,
\log_x(18) = a + 2b.

Подставим это в уравнение:
1 - (a + 2b) = (2a + b)(a - b).

Шаг 4: Раскрытие скобок

Раскроем правую часть:
1 - a - 2b = 2a^2 - 2ab + ab - b^2,
1 - a - 2b = 2a^2 - ab - b^2.

Шаг 5: Приведение к общему виду

Перенесем все в одну сторону:
2a^2 - ab - b^2 + a + 2b - 1 = 0.

Это квадратное уравнение относительно a и b. Решив его, можно найти значения a = \log_x(2) и b = \log_x(3), а затем восстановить основание x.

Если необходимо, продолжим решение!