Криволинейные интегралы, теорема Грина

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математический анализ
Раздел: Криволинейные интегралы, теорема Грина

Решение:

Нам дан криволинейный интеграл:

\oint\limits_C (x^2 - y)dx + 3x dy

где контур C образован прямыми x + y = 1, x = 1 и кривой y = e^x. Обход осуществляется в положительном направлении.

Способ 1: Непосредственное вычисление криволинейного интеграла

Разобьем контур на три части:

1. Отрезок A-B (прямая x + y = 1):

   • Выразим y: y = 1 - x.
   • Дифференциал: dy = -dx.
   • Подставляем в интеграл:

2.  I_1 = \int_0^1 [(x^2 - (1 - x)) dx + 3x(-dx)] 

   Упрощаем:

    I_1 = \int_0^1 (x^2 - 1 + x - 3x) dx = \int_0^1 (x^2 - 1 - 2x) dx 

   Интегрируем:

    I_1 = \left[ \frac{x^3}{3} - x - x^2 \right]_0^1 = \left( \frac{1}{3} - 1 - 1 \right) - (0) = -\frac{5}{3} 

3. Отрезок B-C (x = 1, от y = 0 до y = e):

   • Здесь dx = 0, остается только 3x dy:

4.  I_2 = \int_0^e 3(1) dy = \int_0^e 3 dy = 3e - 0 = 3e 

5. Кривая C-A (y = e^x, x меняется от 1 до 0):

   • Дифференциал: dy = e^x dx.
   • Подставляем в интеграл:

6.  I_3 = \int_1^0 [(x^2 - e^x) dx + 3x e^x dx] 

   Разбиваем:

    I_3 = \int_1^0 x^2 dx - \int_1^0 e^x dx + 3 \int_1^0 x e^x dx 

   Интегрируем:

    \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int e^x dx = e^x, \quad \int x e^x dx = (x - 1)e^x 

   Подставляем пределы:

    I_3 = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^0 - \left[ e^x \right]_1^0 + 3 \left[ (x - 1)e^x \right]_1^0 

    = \left( 0 - \frac{1}{3} \right) - (e - 1) + 3 \left( (1 - 1)e - (0 - 1)e^0 \right) 

    = -\frac{1}{3} - e + 1 + 3(0 + 1) = -\frac{1}{3} - e + 1 + 3 = -\frac{1}{3} + 4 - e 

    = \frac{12}{3} - \frac{1}{3} - e = \frac{11}{3} - e 

Складываем:

 I = I_1 + I_2 + I_3 = -\frac{5}{3} + 3e + \left(\frac{11}{3} - e\right) 

 = -\frac{5}{3} + \frac{11}{3} + 3e - e = \frac{6}{3} + 2e = 2 + 2e 

Способ 2: Теорема Грина

По теореме Грина:

 \oint_C P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA 

Где:

 P = x^2 - y, \quad Q = 3x 

Частные производные:

 \frac{\partial Q}{\partial x} = 3, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -1 

Тогда:

 \iint_D (3 + 1) dA = \iint_D 4 dA 

Площадь области D вычисляем как интеграл:

 \int_0^1 \int_{e^x}^{1-x} 4 dy dx 

Вычисляем внутренний интеграл:

 \int_{e^x}^{1-x} 4 dy = 4(1 - x - e^x) 

Теперь интегрируем по x:

 \int_0^1 4(1 - x - e^x) dx = 4 \left[ x - \frac{x^2}{2} - \int e^x dx \right]_0^1 

 = 4 \left[ x - \frac{x^2}{2} - e^x \right]_0^1 

 = 4 \left( (1 - \frac{1}{2} - e) - (0 - 0 - 1) \right) 

 = 4 \left( \frac{1}{2} - e + 1 \right) = 4 \left( \frac{3}{2} - e \right) = 6 - 4e 

Таким образом, значение интеграла:

 I = 4 \times \left(\frac{3}{2} - e\right) = 6 - 4e 

Оба метода дают один и тот же ответ:

 I = 2 + 2e