Какие из приведенных ниже интегралов вычисляются с помощью формулы интегрирования по частям?

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Интегралы, интегрирование по частям)

Формула интегрирования по частям:
\int u \, dv = uv - \int v \, du

Применяется, если интеграл содержит произведение двух функций, одна из которых легко дифференцируется, а другая интегрируется.

Рассмотрим предложенные интегралы:

1. \int \cos^2 2x \,dx

   • Используется формула понижения степени, а не интегрирование по частям.
   • Не подходит.

2. \int \tg 2x \,dx

   • Вычисляется заменой \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}, а не по частям.
   • Не подходит.

3. \int x \tg^2 x \,dx

   • Здесь есть произведение x и \tg^2 x.
   • Можно взять u = x, тогда du = dx, а dv = \tg^2 x dx.
   • Подходит.

4. \int x \cos x \,dx

   • Здесь есть произведение двух функций: x и \cos x.
   • Берём u = x, тогда du = dx, а dv = \cos x dx.
   • Подходит.

5. \int e^{\cos x} \sin x \,dx

   • Можно использовать замену t = \cos x, тогда dt = -\sin x dx, и интеграл становится \int e^t (-dt), который интегрируется напрямую.
   • Не подходит.

Ответ:

Интегралы 3 и 4 вычисляются с помощью формулы интегрирования по частям.