Изучить сходимость последовательности, заданной выражением

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Исследование сходимости бесконечных последовательностей и рядов)

Нам нужно изучить сходимость последовательности, заданной выражением:

\frac{n \ln(n)}{n^3}

Шаг 1: Упростим выражение

Запишем последовательность более компактно:  a_n = \frac{\ln(n)}{n^2}. 

Здесь мы видим, что числитель растет как натуральный логарифм \ln(n), а знаменатель растет быстрее как n^2. Нужно понять, стремится ли a_n к нулю при n \to \infty.

Шаг 2: Применим правило Лопиталя

Для анализа предела \lim_{n \to \infty} a_n используем правило Лопиталя, так как мы имеем неопределенность вида \frac{\infty}{\infty}. Перепишем предел:

 \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n^2}. 

Воспользуемся правилом Лопиталя, взяв производные числителя и знаменателя по n:

 \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{dn}[\ln(n)]}{\frac{d}{dn}[n^2]} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{2n}. 

Упростим дробь:

 \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n^2}. 

Теперь видно, что при n \to \infty, дробь \frac{1}{2n^2} стремится к нулю.

Шаг 3: Вывод

Последовательность a_n = \frac{\ln(n)}{n^2} сходится, и ее предел равен:

 \lim_{n \to \infty} a_n = 0. 

Итог

Последовательность \frac{n \ln(n)}{n^3} сходится, и ее предел равен нулю.