Изучение свойств рациональных функций

Это задание относится к предмету математика, а его раздел — математический анализ, точнее — изучение свойств рациональных функций. Нам дана функция: \( y = \frac{x^3 + 8}{x^2 - 1} \) Эту функцию можно рассматривать как рациональную. Разберёмся с основными характеристиками этой функции.

Шаг 1: Область определения функции

Чтобы найти область определения функции, нужно определить, при каких значениях знаменатель обращается в ноль, так как деление на ноль невозможно. \( x^2 - 1 = 0 \) Решим это уравнение: \( x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \) Следовательно, область определения функции: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \) То есть область определения включает все действительные числа, кроме -1 и 1.

Шаг 2: Упрощение числителя

Числитель \(x^3 + 8\) можно разложить по формуле суммы кубов: \( x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \) Таким образом, получаем: \( y = \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{x^2 - 1} \)

Шаг 3: Разложение знаменателя

Знаменатель \(x^2 - 1\) является разностью квадратов и разлагается следующим образом: \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \) Подставим все в выражение для функции: \( y = \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{(x - 1)(x + 1)} \)

Шаг 4: Определение вертикальных асимптот

Функция будет иметь вертикальные асимптоты в тех точках, где знаменатель обращается в ноль, при этом числитель не равен нулю. То есть, уже знаем, что \(x = -1\) и \(x = 1\) выводят знаменатель в 0.

1. При x = -1: знаменатель \(x^2 - 1 = (-1)^2 - 1 = 0\), но числитель \((x + 2)(x^2 - 2x + 4) = (1)(1 + 2 + 4) = 7 \neq 0\). Следовательно, при \(x = -1\) имеется вертикальная асимптота.
2. При x = 1: знаменатель также обнуляется, и здесь появляется вторая вертикальная асимптота.

Шаг 5: Определение поведения функции

Для детального исследования понадобилась бы производная, чтобы найти критические точки и построить график. Однако на данном этапе, изучив вертикальные асимптоты и область определения, можно составить представление о поведении функции.

Ответ:

1. Область определения функции: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\)
2. Вертикальные асимптоты: \(x = -1\) и \(x = 1\)