Это задание связано с математическим анализом, а именно с изучением пределов функций.
Условие:
\( e) \lim\limits_{x \to 1} \frac{\cos{\frac{\pi x}{2}}}{5 - 5^x} \)
Шаги решения:
- Подставим значение \(x = 1\) в числитель и знаменатель, чтобы сначала увидеть, существует ли неопределенность:
- \[\text{Числитель} = \cos{\frac{\pi \cdot 1}{2}} = \cos{\frac{\pi}{2}} = 0 \]
- \[\text{Знаменатель} = 5 - 5^1 = 5 - 5 = 0 \]
Мы получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Значит, нужно использовать метод раскрытия неопределенности (например, разложение в ряд Тейлора или другие подходы), но не правило Лопиталя, как сказано в задании.
- Попробуем разложить числитель и знаменатель в окрестности точки \(x = 1\):
- Для \( \cos{\frac{\pi x}{2}} \) сделаем разложение в ряд Тейлора вблизи точки \( x = 1 \).
- \[\cos{\frac{\pi x}{2}} \approx \cos{\frac{\pi}{2}} - \sin{\frac{\pi}{2}} \cdot \left(\frac{\pi}{2}\right)(x-1) + \frac{\cos{\frac{\pi}{2}}}{2!} \cdot \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 (x-1)^2 + \dots \]
- Поскольку \( \cos{\frac{\pi}{2}} = 0 \) и \( \sin{\frac{\pi}{2}} = 1 \),
- \[\cos{\frac{\pi x}{2}} \approx -\frac{\pi}{2}(x - 1) + O((x-1)^2) \]
- Теперь разложим знаменатель:
- Рассмотрим функцию \( 5^x \) в окрестности \( x = 1 \).
- Разложим её с помощью ряда Тейлора:
- \[ 5^x \approx 5^1 + 5^1 \ln(5) (x - 1) + O((x-1)^2) = 5 + 5 \ln(5)(x - 1) + O((x-1)^2) \]
- Тогда:
- \[ 5 - 5^x \approx 5 - \left(5 + 5 \ln(5)(x - 1)\right) = -5 \ln(5)(x - 1) + O((x-1)^2) \]
- Теперь подставим разложения в исходный предел:
- \[ \lim\limits_{x \to 1} \frac{-\frac{\pi}{2}(x - 1)}{-5 \ln(5)(x - 1)} \]
- \( (x - 1) \) сокращаются:
- \[ \lim\limits_{x \to 1} \frac{\frac{\pi}{2}}{5 \ln(5)} = \frac{\pi}{10 \ln(5)} \]
Ответ: