Определение предмета: Этот пример относится к математике, а конкретно к разделу математического анализа. Нас просят построить график функции \(
y = f(x) \), удовлетворяющий заданным условиям. Это включает в себя анализ области определения функции, пределов на границах этой области и её поведения в определённых точках.
Даны условия:
Область определения функции: \[
D(f) = (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) \] Это означает, что функция не определена на интервале \( [0, 1] \).
Пределы функции:
\[
\lim_{x \to -\infty} f(x) = 4 \] При \( x \to -\infty \), значение функции стремится к 4.
\[
\lim_{x \to 1-0} f(x) = -\infty \] При приближении к \( x = 1 \) слева, функция уходит на минус бесконечность.
\[
\lim_{x \to 1+0} f(x) = +\infty \] При приближении к \( x = 1 \) справа, функция уходит на плюс бесконечность.
\[ f(0) = 0 \] Значение функции в точке \( x = 0 \) равно 0.
Подробное объяснение и возможный вид графика:
Область определения функции: Функция определена на \( (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) \), то есть она разрывна на интервале \( [0, 1] \). Сама функция имеет разрыв в точке \( x = 1 \).
Анализ поведения на концах области определения:
При \( x \to -\infty \), функция стремится к 4, что говорит о наличии горизонтальной асимптоты, приближающейся к линии \( y = 4 \), когда \( x \) уходит влево.
В точке \( x = 0 \), значение функции равно 0, то есть график проходит через точку \( (0, 0) \).
При приближении к 1 слева (\( x \to 1-0 \)), функция уходит на минус бесконечность — что указывает на вертикальную асимптоту в \( x = 1 \).
При приближении к 1 справа (\( x \to 1+0 \)), функция уходит на плюс бесконечность — также признак вертикальной асимптоты в \( x = 1 \).
Схематичный график:
Начнём с участка \( (-\infty, 0] \):
При \( x \to -\infty \), функция приближается к 4. Следовательно, с левой стороны должна быть горизонтальная асимптота \( y = 4 \).
В точке \( x = 0 \), функция принимает значение 0.
На участке \( (0, 1) \):
Поведение функции вблизи 1 слева: при \( x \to 1-0 \), функция уходит на минус бесконечность (вертикальная асимптота).
На участке \( (1, +\infty) \):
При \( x \to 1+0 \), функция устремляется к плюс бесконечности (вторая часть вертикальной асимптоты).
При \( x \to +\infty \), явление горизонтальной асимптоты не указывается в задании, следовательно, нужно предположить, что график уходит "куда-то вверх" или ведет себя стабильно.
Описание возможной схематичной картинки:
Левый кусок графика \( (-\infty, 0] \) будет идти справа налево, стремясь к линии \( y = 4 \) при \( x \to -\infty \), проходя через точку \( (0, 0) \).
В точке 0 будет разрыв.
Для \( x \to 1-0 \) и \( x \to 1+0 \) график демонстрирует вертикальную асимптоту (справа на плюс бесконечность, слева на минус).
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.