Изменить порядок интегрирования, сделать чертеж

Это задача из раздела "Двойные интегралы" предмета "Математический анализ"

Требуется изменить порядок интегрирования и построить соответствующий чертеж. Дается интеграл: \[ \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x+6} f(x, y) \, dy \, dx \]

Сначала определим область интегрирования:

• \( x \) изменяется от 0 до 1: \( 0 \leq x \leq 1 \).
• \( y \) изменяется от \( x^2 \) до \( x+6 \): \( x^2 \leq y \leq x+6 \).

Построим данную область на координатной плоскости:

1. Нарисуем параболу \( y = x^2 \).
2. Нарисуем прямую \( y = x+6 \).
3. Учтем промежуток \( 0 \leq x \leq 1 \).

Графически область будет ограничена следующими линиями на интервале \( 0 \leq x \leq 1 \):

• Слева: прямая \( x = 0 \)
• Справа: прямая \( x = 1 \)
• Снизу: парабола \( y = x^2 \)
• Сверху: прямая \( y = x + 6 \)

Теперь нужно изменить порядок интегрирования:

1. Найдем новые границы для \( x \) и \( y \).
2. \( y \) изменяется от \( 0 \) до значения \( 1+6 = 7 \) (потому что для \( x = 1 \), \( y = 1 + 6 = 7 \)).
3. \( x \) изменяется в зависимости от \( y \): для нижней границы \( x = \sqrt{y} \) (решая уравнение \( y = x^2 \) относительно \( x \)) и для верхней границы \( x = y - 6 \) (решая уравнение \( y = x + 6 \) относительно \( x \)).

Таким образом, новый порядок интегрирования будет выглядеть так: \[ \int_{0}^{7} \int_{\sqrt{y}}^{y-6} f(x, y) \, dx \, dy \]

Рисунок:

1. Нарисуем оси \( x \) и \( y \).
2. Нарисуем параболу \( y = x^2 \) для промежутка \( 0 \leq x \leq 1 \).
3. Нарисуем прямую \( y = x + 6 \) для промежутка \( 0 \leq x \leq 1 \).
4. Покажем область интегрирования, ограниченную этими кривыми.

Для данной задачи необходимо подписывать оси, указывать границы интегрирования и закрасить область между линиями.

Таким образом, измененный порядок интегрирования: \[ \int_{0}^{7} \int_{\sqrt{y}}^{y-6} f(x, y) \, dx \, dy \]