Изменить порядок интегрирования для данного двойного интеграла

Предмет: Математика
Раздел: анализ (множественные интегралы)

Задание: Изменить порядок интегрирования для данного двойного интеграла.

Дан интеграл:

\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{-1}^{x^2+1} f(x, y) \, dy \, dx.

Шаг 1. Понять область интегрирования

Область интегрирования определяется пределами:

• (x) изменяется от (0) до (1),
• (y) изменяется от (-1) до (x^2 + 1).

Область (D) интегрирования задается следующими неравенствами:  0 \leq x \leq 1, \quad -1 \leq y \leq x^2 + 1. 

Шаг 2. Найти границы области в обратном порядке

Для изменения порядка интегрирования нужно выразить область (D) в виде, где:

• (y) изменяется первым,
• (x) изменяется вторым.

Из неравенств видно, что:

1. (y) изменяется от (-1) до (2) (максимум (x^2 + 1) достигается при (x = 1), то есть (1^2 + 1 = 2)).
2. Для фиксированного (y), (x) изменяется от (\sqrt{y - 1}) (нижняя граница, так как (x^2 = y - 1)) до (\sqrt{y - 1}) (верхняя граница).

Шаг 3. Новый порядок интегрирования

Теперь область (D) задается следующим образом:  -1 \leq y \leq 2, \quad \sqrt{y - 1} \leq x \leq 1. 

Следовательно, новый порядок интегрирования:  \int\limits_{-1}^{2} \int\limits_{\sqrt{y - 1}}^{1} f(x, y) \, dx \, dy. 

Ответ:

Интеграл с измененным порядком интегрирования записывается так:  \int\limits_{-1}^{2} \int\limits_{\sqrt{y - 1}}^{1} f(x, y) \, dx \, dy.