Изменить порядок интегрирования ∫0^1 dx ∫(2x^2)^x+3 f(x,y) dy

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, кратные интегралы

Дана двойной интеграл с переменным порядком интегрирования:

 \int_0^1 \left( \int_{2x^2}^{x+3} f(x,y) \, dy \right) dx 

Задача: изменить порядок интегрирования.

Шаг 1: Определение области интегрирования

Область интегрирования D задается условиями:

 0 \leq x \leq 1, \quad 2x^2 \leq y \leq x + 3 

Нужно выразить эти условия в виде ограничений на y и x, чтобы поменять порядок интегрирования.

Шаг 2: Найдем границы по y

Для x \in [0,1]:

• Нижняя граница по y: y = 2x^2
• Верхняя граница по y: y = x + 3

Шаг 3: Найдем минимальное и максимальное значение y на области

• Минимум y_{\min} = \min_{x \in [0,1]} 2x^2 = 2 \cdot 0^2 = 0
• Максимум y_{\max} = \max_{x \in [0,1]} (x + 3) = 1 + 3 = 4

Таким образом, y \in [0,4].

Шаг 4: Найдем границы по x при фиксированном y

Для фиксированного y из области:

 2x^2 \leq y \leq x + 3 

Перепишем эти неравенства относительно x.

1. Из 2x^2 \leq y:

 x^2 \leq \frac{y}{2} \implies -\sqrt{\frac{y}{2}} \leq x \leq \sqrt{\frac{y}{2}} 

Но так как x \in [0,1], отрицательные значения не подходят, значит:

 0 \leq x \leq \sqrt{\frac{y}{2}} 

2. Из y \leq x + 3:

 x \geq y - 3 

Опять учитывая x \in [0,1], нижняя граница по x будет максимумом из 0 и y - 3:

 x \geq \max(0, y - 3) 

Шаг 5: Совместим ограничения на x

Итого, для фиксированного y:

 \max(0, y - 3) \leq x \leq \min \left(1, \sqrt{\frac{y}{2}} \right) 

Шаг 6: Определим промежутки для y, где область непуста

Чтобы область по x была непустой, необходимо:

 \max(0, y - 3) \leq \min \left(1, \sqrt{\frac{y}{2}} \right) 

Рассмотрим два случая:

• Если y - 3 \leq 0, то нижняя граница = 0.
• Если y - 3 > 0, то нижняя граница = y - 3.

Случай 1: y \leq 3

Тогда нижняя граница = 0, верхняя = \min(1, \sqrt{y/2}).

Проверим, что нижняя граница не превосходит верхнюю:

 0 \leq \min(1, \sqrt{y/2}) 

Всегда верно, поскольку y \geq 0.

Случай 2: 3 < y \leq 4

Тогда нижняя граница = y - 3, верхняя = \min(1, \sqrt{y/2}).

Для непустой области нужно:

 y - 3 \leq \min(1, \sqrt{y/2}) 

Проверим при y \in (3,4]:

• y - 3 \in (0,1]
• \sqrt{y/2} \in \left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{2}\right] \approx (1.225, 1.414]

Поскольку 1 < 1.225, верхняя граница = 1.

Таким образом, условие:

 y - 3 \leq 1 

Всегда верно для y \leq 4.

Шаг 7: Запишем интеграл с измененным порядком интегрирования

Итог:

 \int_0^1 \left( \int_{2x^2}^{x+3} f(x,y) \, dy \right) dx = \int_0^3 \left( \int_0^{\sqrt{\frac{y}{2}}} f(x,y) \, dx \right) dy + \int_3^4 \left( \int_{y-3}^1 f(x,y) \, dx \right) dy 

Ответ:

 \boxed{ \int_0^1 dx \int_{2x^2}^{x+3} f(x,y) \, dy = \int_0^3 dy \int_0^{\sqrt{\frac{y}{2}}} f(x,y) \, dx + \int_3^4 dy \int_{y-3}^1 f(x,y) \, dx }