Изменить порядок интегрирования

Этот пример относится к предмету "математика", раздел "многомерные интегралы".

Наша задача заключается в изменении порядка интегрирования в заданном двойном интеграле. Изначально имеем интеграл: \[ \int_{0}^{2} \int_{-\sqrt{2x-x^2}}^{0} f(x,y) \, dy \, dx. \]

Для изменения порядка интегрирования найдем границы для \(x\) и \(y\) при интегрировании по \(y\) первым. Рассмотрим пределы интегрирования по каждому из переменных:

1. Для \(x\) от \(0\) до \(2\): \[ 0 \leq x \leq 2. \]
2. Для \(y\) от \(-\sqrt{2x-x^2}\) до \(0\): \[ -\sqrt{2x-x^2} \leq y \leq 0. \]

Теперь найдем соответствующие пределы для \(x\) при данных \(y\). Решим неравенство \(y = -\sqrt{2x-x^2}\) для \(x\): \[ y = -\sqrt{2x-x^2}. \]

Возведем обе части в квадрат: \[ y^2 = 2x - x^2. \]

Перепишем уравнение: \[ x^2 - 2x + y^2 = 0. \]

Используем формулу для корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4y^2}}{2} = 1 \pm \sqrt{1 - y^2}. \]

Так как \(x\) находится в интервале \([0, 2]\), у нас получится: \[ 0 \leq 1 - \sqrt{1 - y^2} \leq x \leq 1 + \sqrt{1 - y^2} \leq 2 \]

Границы для \(y\) будут определены исходя из значений, при которых подкоренное выражение неотрицательно: \[ -\sqrt{1} \leq y \leq 0 \implies -1 \leq y \leq 0. \]

Теперь можем записать новое выражение для двойного интеграла в измененном порядке: \[ \int_{-1}^{0} \int_{1-\sqrt{1-y^2}}^{1+\sqrt{1-y^2}} f(x,y) \, dx \, dy. \]

Теперь вводим значения \(a\), \(b\), \(c\), и \(d\): \( a = 1 - \sqrt{1 - y^2}, b = 1 + \sqrt{1 - y^2}, c = -1, d = 0 \).

Ответ: \[ \int_{-1}^{0} \int_{1-\sqrt{1-y^2}}^{1+\sqrt{1-y^2}} f(x,y) \, dx \, dy. \]