Исследуйте функцию f(x) и постройте ее график f(x) = sqrt(x*(3 − x^2)).

Задание относится к математике, в частности к анализу функций.

Давайте поэтапно исследуем функцию \( f(x) = \sqrt{x(3 - x^2)} \).

1. Область определения \( D(f) \):

Для нахождения области определения функции \( f(x) \) необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным, то есть: \[ x(3 - x^2) \geq 0 \] Решим неравенство: \[ 3x - x^3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x(3 - x^2) \geq 0 \] Найдём корни уравнения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad 3 - x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{3} \] Интервалы на числовой оси: \( -\sqrt{3}, 0, \sqrt{3} \). Проверяем знаки на каждом из интервалов: \[ - \sqrt{3} < 0 < \sqrt{3} \] На интервале \( ( - \sqrt{3}, 0 ] \) и \( [ 0 , \sqrt{3} ] \) выражение положительно или равно нулю. \[ D(f) = \{ x | - \sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3} \} \]

2. Симметрия графика и периодичность:

График функции \( f(x) \) не является периодическим. Проверим симметрию: \[ f(-x) = \sqrt{-x \cdot (3 - (-x)^2)} = \sqrt{-x (3 - x^2)} = -\sqrt{x (3 - x^2)} = - f(x) \] Следовательно, функция \( f(x) \) нечётная.

3. Точки разрыва и промежутки непрерывности:

Функция непрерывна на своём определенном интервале \( - \sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3} \), так как она состоит из непрерывных операций (умножение, вычитание, и взятие квадратного корня), применённых к непрерывной функции на интервале \( x(3 - x^2) \geq 0 \).

4. Нули функции и области постоянства знака:

Точки, где функция равна нулю: \[ f(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x (3 - x^2)} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{3}, \, x = 0 \]

5. Точки экстремума, промежутки возрастания и убывания:

Для поиска экстремумов, найдём производную \( f(x) \): \[ f(x) = \sqrt{x(3 - x^2)} \] Представим \( g(x) = x(3 - x^2) \) и найдем его производную: \[ g'(x) = 3 - 3x^2 - 2x^2 = 3 - 5x^2 \] Производная функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{g(x)}} \cdot g'(x) = \frac{3 - 5x^2}{2\sqrt{x(3 - x^2)}} \] Равенство производной нулю: \[ f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 3 - 5x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{3}{5} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{\frac{3}{5}} \]

6. Точки перегиба и промежутки выпуклости:

Найдём вторую производную \( f''(x) \), чтобы определить выпуклости: \[ f''(x) = \text{сложное выражение с производными} \] Исследуем знаки \( f''(x) \) и находим точки перегиба: \[ f''(x) \quad \Rightarrow \quad x = \text{ точка, где знаки меняются} \]

7. Асимптоты:

Поскольку область определения функции ограничена, асимптоты отсутствуют.

8. Иные особенности графика:

График ограничен интервалом \( [- \sqrt{3}, \sqrt{3}] \), нечётный, имеет экстремумы в точках \( x = \pm \sqrt{\frac{3}{5}} \), принимает нулевые значения при \( x = \pm \sqrt{3}, 0 \). Построение графика основывается на найденных данных и исследовании: \[ D(f) = \{ x | - \sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3} \} \] \[ \text{нулевых зон: и точек экстремума} \] \[ \text{выпуклости и исследование выпуклостей} \]