Исследовать сходимость ряда применив необходимый признак сходимости

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды

Задание:
Исследовать сходимость числового ряда:

 2 - 2 + 2 - 2 + \ldots 

Решение:

Рассмотрим данный ряд:

 \sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad \text{где } a_n = 2 \cdot (-1)^{n+1} 

То есть, члены ряда чередуются:
 a_1 = 2, \quad a_2 = -2, \quad a_3 = 2, \quad a_4 = -2, \quad \ldots 

Это чередующийся ряд, но не убывающий по модулю, и его члены не стремятся к нулю:

 \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot (-1)^{n+1} 

Такого предела не существует, потому что последовательность [a_n] колеблется между 2 и -2 и не стремится к нулю.

Признак необходимый для сходимости ряда:

Если ряд \sum a_n сходится, то необходимо, чтобы \lim_{n \to \infty} a_n = 0.

В нашем случае:

 \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 

Следовательно, по необходимому признаку сходимости, данный ряд расходится.

Ответ:
Ряд 2 - 2 + 2 - 2 + \ldots расходится по необходимому признаку сходимости, так как его общий член не стремится к нулю.