Исследовать сходимость ряда

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Исследование сходимости рядов)

Для исследования сходимости ряда \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^9 + 8n^5}{n^7 + 5n^4} \] мы используем признак сравнения (предельный признак сравнения).

Важные шаги:

1. Найдем основной член сравнения для нашего ряда: Раскроем дробь, оставив только старшие степени числителя и знаменателя: \[\frac{n^9 + 8n^5}{n^7 + 5n^4} \sim \frac{n^9}{n^7} = n^2\] Таким образом, наш ряд можно сравнивать с рядом вида \(\sum_{n=1}^{\infty} n^2\).
2. Исследуем исходящий ряд на расходимость: \(\sum_{n=1}^{\infty} n^2\) является школьным или гармоническим рядом, но с возрастанием степени \(n\). Проверим сходимость ряда, используя общий вид: \(a_n = n^2\). Для этого рассмотрим предел: \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^9 + 8n^5}{n^7 + 5n^4} \div n^2 \) Это равно: \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^9 + 8n^5}{n^9} = \lim_{n \to \infty} 1 + \frac{8n^5}{n^9}\) Общий предел равен: \(\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{8}{n^4}) = 1\)
3. Сравним с расходящимся рядом: Поскольку предел не равен нулю и ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} n^2\) расходится, наш исходный ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^9 + 8n^5}{n^7 + 5n^4}\) также расходится по признаку сравнения.

Итог: Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^9 + 8n^5}{n^7 + 5n^4}\) расходится.