Исследовать ряд на сходимость , применяя признак коши

Данный пример относится к математике, а именно к разделу математического анализа, который занимается изучением рядов на сходимость.

Для исследования данного ряда на сходимость применим признак Коши:

Признак Коши: Ряд \( \sum a_n \) сходится тогда и только тогда, когда \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1 \).

Применим этот признак к ряду \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n-1}{2n+1} \right)^n. \]

Рассмотрим общий член ряда: \[ a_n = \left( \frac{n-1}{2n+1} \right)^n. \]

Выразим \(\sqrt[n]{|a_n|}\):

\[ \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n-1}{2n+1} \right)^n \right|} = \left| \frac{n-1}{2n+1} \right|. \]

Итак, нам нужно найти предел: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n-1}{2n+1} \right|. \]

Для этого найдем предел: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n-1}{2n+1}. \]

Можно упростить дробь: \[ \frac{n-1}{2n+1} = \frac{n(1-\frac{1}{n})}{2n (1 + \frac{1}{2n})} = \frac{n(1-\frac{1}{n})}{2n (1 + \frac{1}{2n})} = \frac{1 - \frac{1}{n}}{2 + \frac{1}{2n}}. \]

Теперь найдем предел этой дроби при \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{n}}{2 + \frac{1}{2n}} = \frac{1 - 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}. \]

Таким образом, \( L = \frac{1}{2} \). Так как \( \frac{1}{2} < 1 \), то ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n-1}{2n+1} \right)^n \) сходится по признаку Коши.

Ответ: Ряд сходится.