Исследовать ряд на сходимость, применяя 1-й признак сравнения

Этот математический ряд выглядит следующим образом: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)!} \] Изучим его сходимость с помощью первого признака сравнения. Обозначим общий член данного ряда как \( a_n \): \[ a_n = \frac{1}{(n+1)!} \] Теперь выберем известный ряд для сравнения. Выберем ряд \(\sum \frac{1}{n!}\), так как факториалы имеют такие же свойства и данный ряд известен как сходящийся. Рассмотрим общий член ряда для сравнения \( b_n \): \[ b_n = \frac{1}{n!} \] Теперь проверим, применяя первый признак сравнения, который утверждает, что если два неотрицательных ряда \(\sum a_n\) и \(\sum b_n\) удовлетворяют условию \[ 0 \leq a_n \leq C b_n \] для всех \(n\) начиная с некоторого момента при некотором числе \(C\), и если ряд \(\sum b_n\) сходится, тогда и ряд \(\sum a_n\) тоже сходится. Проверим отношение \(\frac{a_n}{b_n}\): \[ \frac{a_n}{b_n} = \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \] Видно, что \[ \frac{1}{n+1} \leq 1 \] то есть существует константа \(C = 1\), которая удовлетворяет условию первого признака сравнения. Поскольку ряд \(\sum \frac{1}{n!}\) сходится (это известный факт), то следовательно, и ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)!}\) тоже сходится. Таким образом, данный ряд является сходящимся.