Исследовать ряд на сходимость, применяя 1-й признак сравнени зато общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.

Детерминирование предмета и раздела

Этот вопрос относится к предмету математика, более конкретно — математический анализ. Задание касается сходимости числовых рядов и требует исследования ряда на сходимость, применяя первый признак сравнения.

Дано:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan{n} + 1}{n^2} \]

Решение:

Для применения первого признака сравнения нужно найти ряд \( \sum b_n \), с которым будем сравнивать данный ряд \( \sum a_n \). В нашем случае \( a_n = \frac{\arctan{n} + 1}{n^2} \).

Обозначим:

\[ b_n = \frac{1}{n^2} \]

Рассмотрим, что:

• \( b_n \) — гармонический ряд второго порядка (ряд \(\sum b_n = \sum \frac{1}{n^2}\)). Известно, что этот ряд сходится.

Переходим к сравнительному анализу:

1. Определим предел отношения:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\arctan{n} + 1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} (\arctan{n} + 1) \]

Мы знаем, что \(\arctan{n}\) стремится к \(\frac{\pi}{2}\) при \( n \to \infty \). Таким образом, получаем:

\[ \lim_{n \to \infty} (\arctan{n} + 1) = \frac{\pi}{2} + 1 \]

Следовательно, предел отношения \(a_n\) и \(b_n\) равен конечному числу (константе):

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\pi}{2} + 1 \]

2. Вывод по первому признаку сравнения:

Поскольку \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = C \) и \( C \) — конечная положительная константа, и поскольку ряд \(\sum b_n = \sum \frac{1}{n^2}\) сходится, то и ряд \(\sum a_n = \sum \frac{\arctan{n} + 1}{n^2}\) также сходится.

Заключение

Таким образом, ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan{n} + 1}{n^2} \] сходится, применяя первый признак сравнения с рядом \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \), который сходится.