Исследовать ряд на сходимость

Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Математический анализ", под разделе "Ряды".

Условие задания: исследовать ряд на сходимость \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} \]

Для исследования сходимости данного ряда, можно воспользоваться признаком Лейбница для условной сходимости знакопеременных рядов. Согласно этому признаку, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы выполнялись следующие два условия:

1. Члены ряда \(\frac{1}{\sqrt{n}}\) монотонно убывали (то есть \(\frac{1}{\sqrt{n+1}} < \frac{1}{\sqrt{n}}\)).
2. Предел членов ряда стремился к нулю, то есть \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0\).

Рассмотрим выполнение этих условий:

1. Проверка монотонности последовательности \(\frac{1}{\sqrt{n}}\). \[ \frac{1}{\sqrt{n+1}} < \frac{1}{\sqrt{n}} \quad \text{или} \quad \sqrt{n} < \sqrt{n+1} \] Очевидно, что \( \sqrt{n} < \sqrt{n+1} \) для всех \( n \geq 1 \), что доказывает монотонное убывание членов.
2. Проверка предела: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0 \] Это также очевидно, так как при \( n \to \infty, \sqrt{n} \to \infty \) и, следовательно, \(\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0\).

Так как обе условия признака Лейбница выполнены, ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} \] сходится условно. Однако, для рядов с такими ограничениями как \(\frac{1}{\sqrt{n}}\), следует также проверить абсолютную сходимость. Рассчитаем:

Этот ряд является гармоническим рядом со степенью \(\frac{1}{2}\), и он расходится, так как \(\frac{1}{2} \le 1\).

Таким образом, ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}\) сходится условно, но не абсолютно.