Исследовать поведение степенного ряда на границе круга сходимости

Данное задание относится к математическому анализу, а конкретнее — к теории степенных рядов.

Раздел предмета:

Предмет: Математический анализ

Тема: Ряды — степенной ряд

Раздел: Сходимость степенных рядов и их поведение на границе круга сходимости

Задание:

Необходимо исследовать поведение степенного ряда вида: \[ \sum \frac{z^{p n}}{n} \quad \text{(где \(p\) — параметр, \(n\) — индекс суммирования)} \] на границе круга сходимости.

Шаг 1: Определение радиуса сходимости

Начнем с того, что для оценки сходимости степенного ряда вида: \[ \sum a_n z^n \] радиус сходимости \(R\) (если ряд сходится) можно определить с помощью формулы Коши-Адамара: \[ \frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \]

Наш ряд имеет вид: \[ \sum \frac{z^{pn}}{n}, \] где \(a_n = \frac{1}{n}\) для тех \(n\), которые делимы на \(p\), и 0 — для остальных \(n\). Видно, что \(a_n\) не зависит от \(z\), и таким образом, нужно исследовать этот ряд. \(a_n = \frac{1}{n}\) поразряду ослабевает, однако нас интересует, как изменяется вклад каждой \(z^{pn}\).

Шаг 2: Поиск условий сходимости

Теперь начнем анализировать поведение ряда на границе круга сходимости, т.е. |z| = R. Рассмотрим \( z = e^{i \theta}\), то есть точка на комплексной окружности. Таким образом наш ряд запишется как: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(e^{i p n \theta})}{n} \]

Это частный случай ряда Дирихле (ряда с формальными коэффициентами \(a_n z^n\)).

Шаг 3: Применение теоремы Абеля

Для исследования сходимости на границе можно воспользоваться теоремой Абеля. Она утверждает, что если степенной ряд сходится при \( |z| = R \), то его сумма на границе, при \( |z| = R \), существует и равна пределу суммы при приближении к границе (слева).

Шаг 4: Проверка на сходимость

Теперь нужно выяснить, сходится ли ряд по общим интегративным или ослабевающим функциям.