Исследовать на сходимость ряд с положительными членами

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, ряды

Исследуем на сходимость ряд с положительными членами:

\sum_{n=1}^\infty \frac{n-7}{3\sqrt[8]{n^8 + 2}}.

Решение:

Для исследования сходимости ряда с положительными членами можно использовать признак сравнения, признак Даламбера, признак Коши, а также асимптотическое поведение общего члена ряда.

Шаг 1: Исследуем поведение общего члена ряда

Обозначим общий член ряда как:

a_n = \frac{n-7}{3\sqrt[8]{n^8 + 2}}.

Для больших n числитель n-7 асимптотически эквивалентен n, а знаменатель \sqrt[8]{n^8 + 2} асимптотически эквивалентен n, так как n^8 доминирует над 2. Таким образом:

 a_n \sim \frac{n}{3n} = \frac{1}{3}, \quad n \to \infty. 

Общий член a_n не стремится к нулю, а стремится к константе \frac{1}{3}. Это означает, что ряд расходится, так как необходимое условие сходимости ряда — стремление общего члена к нулю — не выполняется.

Ответ:

Ряд \sum_{n=1}^\infty \frac{n-7}{3\sqrt[8]{n^8 + 2}} расходится.