Исследовать на сходимость интеграла

Предмет: Математический анализ
Раздел: Несобственные интегралы

Исследуем на сходимость интеграл:
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \, dx}{1 + x^2}

Шаг 1. Разделение интеграла

Разделим интеграл на два:
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \, dx}{1 + x^2} = \int_{-\infty}^{0} \frac{x \, dx}{1 + x^2} + \int_{0}^{+\infty} \frac{x \, dx}{1 + x^2}

Теперь рассмотрим каждую часть отдельно.

Шаг 2. Исследование четности функции

Функция f(x) = \frac{x}{1 + x^2} является нечетной, так как:
f(-x) = \frac{-x}{1 + (-x)^2} = -\frac{x}{1 + x^2} = -f(x).

Для нечетной функции интеграл на симметричном интервале относительно нуля равен нулю:
\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0.

В данном случае:
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \, dx}{1 + x^2} = 0.

Шаг 3. Вывод

Интеграл сходится и равен нулю.