Исследовать на равномерную сходимость на всей числовой прямой

Предмет: Математический анализ
Раздел: Равномерная сходимость последовательностей функций

Дана последовательность функций:

f_n(x) = \sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}}, \; -\infty < x < +\infty.

Необходимо исследовать на равномерную сходимость на всей числовой прямой.

1. Предельная функция

Сначала найдем предельную функцию f(x) при n \to \infty.

 f_n(x) = \sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}} \xrightarrow{n \to \infty} \sqrt{x^2} = |x|. 

Таким образом, предельная функция:

f(x) = |x|.

2. Проверка равномерной сходимости

Для проверки равномерной сходимости вычислим разность между f_n(x) и предельной функцией f(x):

 |f_n(x) - f(x)| = \left| \sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}} - |x| \right|. 

Упростим выражение:

 |f_n(x) - f(x)| = \left| \frac{x^2 + \frac{1}{n^2} - x^2}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}} + |x|} \right| = \frac{\frac{1}{n^2}}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}} + |x|}. 

Оценим максимум разности:

• Для фиксированного x, при n \to \infty, числитель \frac{1}{n^2} \to 0, а знаменатель \sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}} + |x| \to 2|x|, если x \neq 0. Таким образом, |f_n(x) - f(x)| \to 0 для любого фиксированного x.
• Однако, чтобы проверить равномерную сходимость, нужно найти супремум разности по всем x.

Рассмотрим случай x = 0:

При x = 0 имеем:  |f_n(0) - f(0)| = \left| \sqrt{0^2 + \frac{1}{n^2}} - 0 \right| = \frac{1}{n}. 

При n \to \infty, |f_n(0) - f(0)| \to 0, но скорость убывания зависит от n, а не от x.

Рассмотрим случай больших |x|:

Для |x| \to \infty знаменатель \sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}} + |x| \to 2|x|, а числитель \frac{1}{n^2} становится малым. Таким образом, максимум разности достигается при x = 0.

3. Вывод

Максимальная разность |f_n(x) - f(x)| равна \frac{1}{n}, которая зависит от n, но не от x. Следовательно, сходимость не является равномерной на всей числовой прямой, так как скорость убывания разности зависит от x.

Ответ: последовательность f_n(x) сходится к f(x) = |x| поточечно, но не равномерно на промежутке -\infty < x < +\infty.