Исследовать на экстремум функцию

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ

Рассмотрим задачи 1 и 4 из предложенного варианта.

Задача 1

Исследовать на экстремум функцию:
z = 4(x - y) - x^2 - y^2

Решение:

Для поиска экстремума функции двух переменных нужно найти её критические точки, исследуя частные производные.

1. Найдём частные производные:

   • По x:
     \frac{\partial z}{\partial x} = 4 - 2x
   • По y:
     \frac{\partial z}{\partial y} = -4 - 2y

2. Приравняем частные производные к нулю:  \begin{cases} \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \quad \Rightarrow \quad 4 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2, \ \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \quad \Rightarrow \quad -4 - 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -2. \end{cases} 

   Таким образом, критическая точка: (x, y) = (2, -2).

3. Исследуем характер критической точки с помощью второго дифференциала: Вторые частные производные:

   • \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -2,
   • \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -2,
   • \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0.

4. Определитель матрицы Гессе:  H = \begin{vmatrix} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -2 & 0 \ 0 & -2 \end{vmatrix} = (-2)(-2) - (0)(0) = 4. 

   Так как H > 0 и \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} < 0, критическая точка (2, -2) является точкой максимума.

5. Значение функции в точке экстремума: Подставим x = 2 и y = -2 в функцию: z = 4(2 - (-2)) - 2^2 - (-2)^2 = 4 \cdot 4 - 4 - 4 = 16 - 8 = 8.

Ответ: Точка максимума: (2, -2), значение функции: z = 8.

Задача 4

Исследовать на сходимость числовой ряд:
\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^3 + 5}

Решение:

Для исследования сходимости числового ряда применим признак сравнения или эквивалентность главных членов.

1. Асимптотика общего члена ряда: Рассмотрим общий член: a_n = \frac{n^2}{n^3 + 5}.

   Для больших n знаменатель n^3 + 5 можно заменить на n^3, так как добавление 5 несущественно. Тогда: a_n \sim \frac{n^2}{n^3} = \frac{1}{n}.

2. Сравнение с рядом \sum \frac{1}{n}: Ряд \sum \frac{1}{n} — это гармонический ряд, который расходится. Следовательно, ряд \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^3 + 5} также расходится по признаку сравнения.

Ответ: Ряд расходится.