Исследовать на абсолютную и условную сходимость числовые ряды

Это задание относится к предмету "Математика", в частности к разделу "Математический анализ", который занимается исследованием числовых рядов на сходимость. Давайте исследуем данный числовой ряд на абсолютную и условную сходимость. Дан числовой ряд: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n 5^n ((n)!)^2}{(2n)!} \]

Шаг 1: Проверка на абсолютную сходимость

Для проверки на абсолютную сходимость рассмотрим ряд, составленный из модулей членов исходного ряда: \[ \sum_{n=1}^\infty \left| \frac{(-1)^n 5^n ((n)!)^2}{(2n)!} \right| = \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n ((n)!)^2}{(2n)!} \] Мы будем использовать для этого тест Д’Аламбера, который требует исследования предела отношения последовательных членов ряда: \[ a_n = \frac{5^n ((n)!)^2}{(2n)!} \] Найдем отношение \(\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\):

\[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{5^{n+1} ((n+1)!)^2}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{5^n ((n)!)^2} \]

\[ = 5 \cdot \frac{(n+1)^2 ((n)!)^2}{2(n+1)(2n+1)(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{((n)!)^2} \]

\[ = 5 \cdot \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} \]

\[ = 5 \cdot \frac{n^2 + 2n + 1}{4n^2 + 6n + 2} \]

При \( n \to \infty \): \[ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 5 \cdot \frac{n^2}{4n^2} = \frac{5}{4} \] Поскольку предел отношения последовательных членов больше 1 (\( \frac{5}{4} > 1 \)), ряд \(\sum_{n=1}^\infty \frac{5^n ((n)!)^2}{(2n)!} \) расходится. Следовательно, данный числовой ряд не сходится абсолютно.

Шаг 2: Проверка на условную сходимость

Для проверки ряда на условную сходимость, будем использовать признак Лейбница для знакопеременных рядов, который гласит, что ряд \(\sum (-1)^n b_n \) сходится, если последовательность \( b_n \) убывает и стремится к нулю. В нашем ряде \( b_n = \frac{5^n ((n)!)^2}{(2n)!} \). Проверим убывание: Для этого вычислим предел \( b_n \):

Используем разложение (стирлингова приближения для факториала): \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \] \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n} \] Таким образом: \[ b_n \approx \frac{5^n (\sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n)^2}{\sqrt{4 \pi n} \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n}} \]

\[ b_n \approx \frac{5^n (2 \pi n) \left( \frac{n}{e} \right)^{2n}}{(2 \pi n) \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n}} \]

\[ b_n \approx \frac{5^n}{4^n} \cdot n^{-1/2} \]

\[ b_n \approx \left( \frac{5}{4} \right)^n n^{-1/2} \]

Поскольку \( \left( \frac{5}{4} \right)^n n^{-1/2} \) не стремится к нулю при \( n \to \infty \), то данный ряд не удовлетворяет условию Лейбница для знакопеременных рядов. Таким образом, числовой ряд \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n 5^n ((n)!)^2 }{(2n)!} \) не сходится ни условно, ни абсолютно.