Исследовать на абсолютную и условную сходимость числовой ряд

Это задание относится к курсу математического анализа, раздел "Числовые ряды". Мы будем исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sqrt{n}}{3 + 2n} \] Для начала определим, что мы понимаем под абсолютной и условной сходимостью ряда:

• Абсолютная сходимость: Ряд \(\sum a_n\) сходится абсолютно, если ряд \(\sum |a_n|\) сходится.
• Условная сходимость: Ряд \(\sum a_n\) сходится условно, если \(\sum a_n\) сходится, но \(\sum |a_n|\) расходится.

1. Исследование на абсолютную сходимость:

Рассмотрим ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^n \sqrt{n}}{3 + 2n}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{3 + 2n}\). Для большого \(n\), \(\frac{\sqrt{n}}{3 + 2n}\) ведет себя как \(\frac{\sqrt{n}}{2n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}\). Поскольку \(\sum \frac{1}{\sqrt{n}}\) является расходящимся гармоническим рядом (интегральный тест или p-серия с \(p = \frac{1}{2}\)), ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{3 + 2n}\) расходится.

2. Исследование на условную сходимость:

Так как первоначальный ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sqrt{n}}{3 + 2n}\) является знакопеременным рядом, применим признак Лейбница:

• Последовательность \(a_n = \frac{\sqrt{n}}{3 + 2n}\) монотонно убывает.
• \(\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{3 + 2n} = 0\).

Так как эти два условия выполнены, ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sqrt{n}}{3 + 2n}\) сходится по признаку Лейбница.

Заключение:

1. Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{3 + 2n}\) расходится, следовательно, исходный ряд не сходится абсолютно.
2. Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sqrt{n}}{3 + 2n}\) сходится по признаку Лейбница, следовательно, исходный ряд сходится условно.

Таким образом, числовой ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \sqrt{n}}{3 + 2n}\) сходится условно, но не абсолютно.