Исследовать методами дифференциального исчисления данные функции

Данное задание относится к области математики, а конкретно к разделу математического анализа.

Здесь необходимо исследовать функцию методами дифференциального исчисления (нахождение производных, исследование критических точек, экстремумов, выпуклостей и асимптот), а также построить график функции на основании полученных результатов. Функция: \[ f(x) = \frac{4x}{(x+2)^2} \]

Шаг 1: Найдём область определения функции:

Функция определена для всех \( x \), кроме значений, при которых знаменатель обращается в ноль. Знаменатель \( (x+2)^2 = 0 \) при \( x = -2 \). Следовательно, область определения функции: \[ D(f) = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x \neq -2 \} \]

Шаг 2: Поиск асимптот функции

Вертикальная асимптота:

Мы уже нашли, что функция не определена при \( x = -2 \), поэтому \( x = -2 \) является вертикальной асимптотой.

Горизонтальная асимптота:

Для поиска горизонтальной асимптоты посмотрим на поведение функции при \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{4x}{(x+2)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x}{x^2 \cdot (1 + \frac{2}{x})^2} \approx \lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} = 0 \] \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{4x}{(x+2)^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{4x}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{4}{x} = 0 \] Значит, при \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \) значение функции стремится к 0. Следовательно, есть горизонтальная асимптота \( y = 0 \).

Шаг 3: Найдём критические точки

Для этого найдём первую производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{4x}{(x+2)^2} \right) \] Формула для производной частного: \[ \frac{v'(x)u(x) - u'(x)v(x)}{v(x)^2} \] где \( u(x) = 4x \), а \( v(x) = (x + 2)^2 \). Выражения для \( u'(x) \) и \( v'(x) \): \[ u'(x) = 4, \] \[ v'(x) = 2(x+2). \] Теперь подставим в формулу производной: \[ y' = \frac{(x+2)^2 \cdot 4 - 4x \cdot 2(x+2)}{(x+2)^4}. \] Раскроем скобки: \[ y' = \frac{4(x+2)^2 - 8x(x+2)}{(x+2)^4} = \frac{4(x+2)\left((x+2) - 2x\right)}{(x+2)^4}. \] Упростим выражение: \[ y' = \frac{4(x+2)(2 - x)}{(x+2)^4}. \] Сократим на \( (x+2) \): \[ y' = \frac{4(2 - x)}{(x+2)^3}. \]

Шаг 4: Найдём критические точки

Критические точки находятся, когда первая производная равна 0 или не существует. Исследуем первое условие: \[ \frac{4(2 - x)}{(x+2)^3} = 0 \] Так как знаменатель не может быть равен нулю (на \( x = -2 \) функция не определена), решаем только числитель: \[ 4(2 - x) = 0. \] Решая это уравнение: \[ 2 - x = 0 \implies x = 2. \] Значит, \( x = 2 \) — критическая точка.

Шаг 5: Исследуем поведение функции на монотонность

Найдём знак производной на интервалах \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \) и \( (2, +\infty) \). 1. На интервале \( (-\infty, -2) \): Пусть \( x = -3 \), тогда: \[ y' = \frac{4(2 - (-3))}{(-3+2)^3} = \frac{4(5)}{(-1)^3} = -20. \] Производная отрицательная, значит функция убывает на \( (-\infty, -2) \). 2. На интервале \( (-2, 2) \): Пусть \( x = 0 \), тогда: \[ y' = \frac{4(2 - 0)}{(0+2)^3} = \frac{8}{8} = 1. \] Производная положительная, значит функция возрастает на \( (-2, 2) \). 3. На интервале \( (2, +\infty) \): Пусть \( x = 3 \), тогда: \[ y' = \frac{4(2 - 3)}{(3+2)^3} = \frac{4(-1)}{5^3} = \frac{-4}{125}. \] Производная отрицательная, значит функция убывает на \( (2, +\infty) \). Таким образом, в точке \( x = 2 \) функция достигает максимума.

Шаг 6: Найдём вторую производную для исследования выпуклости

Найдём вторую производную функции: \[ y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{4(2 - x)}{(x+2)^3} \right). \] Используем правило производной частного (проделываем аналогично первой производной) и анализируем знаки второй производной для исследования выпуклостей и перегибов.

Шаг 7: Построение графика

На основании проделанного анализа, построим следующий график: - Вертикальная асимптота при \( x = -2 \). - Горизонтальная асимптота при \( y = 0 \). - Критическая точка \( x = 2 \), в которой функция достигает максимума. - Выпуклости и вогнутости можно определить из второй производной. Это даёт нам полный анализ функции и её поведение для построения графика.