Исследовать функцию. Найти ОДЗ

Это задание по математическому анализу, и нам необходимо провести исследование функции \( y = \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) \).

Давайте последовательно пройдемся по каждому пункту исследования.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Функция арксинуса определена для значений аргумента в промежутке [-1, 1]. Следовательно, нам нужно решить неравенства:

\[-1 \leq \frac{2x}{1+x^2} \leq 1 \]

Рассмотрим отдельно каждое из неравенств:

Для \( \frac{2x}{1+x^2} \geq -1 \):

\[ 2x \geq -1 - x^2 \]

\[ x^2 + 2x + 1 \geq 0 \]

\[ (x+1)^2 \geq 0 \]

Это неравенство выполняется для всех x, так как квадрат любого числа неотрицателен.

Для \( \frac{2x}{1+x^2} \leq 1 \):

\[ 2x \leq 1 + x^2 \]

\[ x^2 - 2x + 1 \geq 0 \]

\[ (x-1)^2 \geq 0 \]

Это неравенство также выполняется для всех x. Таким образом, ОДЗ функции — все действительные числа: \( x \in \mathbb{R} \).

2. Найдем участки монотонности. Для этого находим первую производную функции и анализируем её знак:

\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) \right) \]

\[ y' = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{2x}{1+x^2}\right)^2}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right) \]

\[ y' = \frac{2}{1+x^2} \]

Понятно, что производная положительна при всех \( x \), так как \( 1+x^2 \) всегда положительно. Это значит, что функция монотонно возрастает на всей области определения.

3. Точки экстремума. Так как функция непрерывно возрастает на всей числовой прямой, у неё нет точек максимума или минимума.
4. Участки выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную и определим её знак:

\[ y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{1+x^2} \right) \]

\[ y'' = -\frac{4x}{(1+x^2)^2} \]

Вторая производная отрицательна при \( x > 0 \) и положительна при \( x < 0 \). Следовательно, функция вогнута вверх при \( x < 0 \) и вогнута вниз при \( x > 0 \).

5. Точки перегиба. Точка перегиба — это точка, в которой функция меняет свою выпуклость. Так как вторая производная изменяет свой знак pri переходе через \( x = 0 \), то \( x = 0 \) является точкой перегиба функции.
6. Асимптоты.

   Горизонтальные асимптоты функции \( y = \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) \) могут быть найдены путем определения пределов функции при \( x \) стремящимся к бесконечности:

   \[ \lim_{x \to \infty} \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = \arcsin(0) = 0 \]

   \[ \lim_{x \to -\infty} \arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = \arcsin(0) = 0 \]

   Таким образом, у функции есть горизонтальная асимптота \( y = 0 \).

   Вертикальных и наклонных асимптот у данной функции нет, так как она определена для всех действительных значений \( x \) и непрерывна на всей числовой прямой.