Исследовать функцию на непрерывность и построить ее график

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (исследование функций)

Для исследования функции на непрерывность и построения её графика выполним следующие шаги:

1. Исследование функции на непрерывность

Функция задана кусочно:
f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \leq 0, \ (x + 1)^2, & 0 < x \leq 2, \ -x + 4, & x > 2. \end{cases}

Проверим непрерывность в точках стыка: (x = 0) и (x = 2).

1.1. Проверка в точке (x = 0):

1. Левосторонний предел ((x \to 0^{-})):
   Если (x \leq 0), то (f(x) = x + 1).
   \lim\limits_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^{-}} (x + 1) = 0 + 1 = 1.

2. Правосторонний предел ((x \to 0^{+})):
   Если (0 < x \leq 2), то (f(x) = (x + 1)^2).
   \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^{+}} (x + 1)^2 = (0 + 1)^2 = 1.

3. Значение функции в точке (x = 0):
   Если (x \leq 0), то (f(0) = 0 + 1 = 1).

Так как \lim\limits_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x) = f(0) = 1, функция непрерывна в точке (x = 0).

1.2. Проверка в точке (x = 2):

1. Левосторонний предел ((x \to 2^{-})):
   Если (0 < x \leq 2), то (f(x) = (x + 1)^2).
   \lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x) = \lim\limits_{x \to 2^{-}} (x + 1)^2 = (2 + 1)^2 = 9.

2. Правосторонний предел ((x \to 2^{+})):
   Если (x > 2), то (f(x) = -x + 4).
   \lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim\limits_{x \to 2^{+}} (-x + 4) = -(2) + 4 = 2.

Так как \lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x) \neq \lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x), функция разрывна в точке (x = 2).

2. Построение графика функции

1. На интервале (x \leq 0):
   Здесь (f(x) = x + 1), это линейная функция с угловым коэффициентом 1, проходящая через точку ((0, 1)).

2. На интервале (0 < x \leq 2):
   Здесь (f(x) = (x + 1)^2), это парабола, смещённая на 1 единицу влево. В точке (x = 0) значение (f(0) = 1), а в точке (x = 2) значение (f(2) = 9).

3. На интервале (x > 2):
   Здесь (f(x) = -x + 4), это линейная функция с угловым коэффициентом (-1), проходящая через точку ((2, 2)).

3. График функции

На графике:

• Точка (x = 0) непрерывна, поэтому в этой точке график не разрывается.
• В точке (x = 2) разрыв первого рода, поэтому на графике будет разрыв.

График можно построить, соединяя соответствующие участки.