Исследовать функцию на монотонность и экстремумы

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ

Дана функция:

y = \frac{x}{x+2}

Необходимо исследовать функцию на монотонность и найти экстремумы.

1. Найдём область определения функции:

Функция определена, когда знаменатель не равен нулю:
x + 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -2.

Таким образом, область определения:
D(y) = \mathbb{R} \setminus \{-2\}.

2. Найдём производную функции:

Функция имеет вид дроби, поэтому используем правило дифференцирования дроби:
y = \frac{u}{v}, \quad y' = \frac{u'v - uv'}{v^2},
где u = x и v = x+2.

Вычислим производную:
u' = 1, \quad v' = 1,
y' = \frac{(1)(x+2) - (x)(1)}{(x+2)^2} = \frac{x+2-x}{(x+2)^2} = \frac{2}{(x+2)^2}.

Производная:
y' = \frac{2}{(x+2)^2}.

3. Исследуем знак производной:

• Знаменатель (x+2)^2 > 0 для всех x \neq -2.
• Числитель 2 > 0.

Следовательно, y' > 0 для всех x \neq -2.

Таким образом, функция возрастает на всём множестве D(y) = \mathbb{R} \setminus \{-2\}.

4. Исследуем функцию на экстремумы:

Так как производная y' > 0 на всём множестве D(y), функция не имеет экстремумов.

5. Вывод:

1. Функция y = \frac{x}{x+2} возрастает на всей области определения D(y) = \mathbb{R} \setminus \{-2\}.
2. Экстремумов у функции нет.