Исследовать функцию

Определение предмета и раздела:

Это задание из математики, раздела математического анализа. Исследование функции обычно включает нахождение области определения, граничных значений, производных, критических точек, экстремумов, точек перегиба и построение графика функции. Исследуем функцию: \[ y = \frac{\sin^2x}{2 + \sin x}. \]

Шаг 1: Область определения функции

Функция определена, если знаменатель \( 2 + \sin x \neq 0 \). Таким образом: \[ 2 + \sin x \neq 0 \implies \sin x \neq -2. \]

Синус \( x \) принимает значения только в диапазоне \([-1, 1]\), поэтому данное условие выполняется всегда.

Следовательно, область определения функции: вся числовая ось \( x \): \( x \in \mathbb{R} \).

Шаг 2: Функция убывает или возрастает? (Первая производная)

Найдем первую производную \( y' \) по правилу производной дроби: \[ y = \frac{\sin^2x}{2 + \sin x}. \]

Применим производную вида \(\frac{u}{v}\): \[ y' = \frac{(u'v - uv')}{v^2}, \quad \text{где \( u = \sin^2 x,\ v = 2 + \sin x \)}. \]

Вычислим \( u' \) и \( v' \):

1. \( u = \sin^2 x \implies u' = 2 \sin x \cos x = \sin(2x) \) (формула двойного угла).
2. \( v = 2 + \sin x \implies v' = \cos x \).

Подставим всё в формулу производной: \[ y' = \frac{\sin(2x)(2 + \sin x) - \sin^2x \cos x}{(2 + \sin x)^2}. \]

Для упрощения можно воспользоваться тригонометрическими тождествами в числителе, но сложное выражение свидетельствует о необходимости уточнений и анализа.

Критические точки:

Рассмотрим точки, где \( y' = 0 \) (числитель равен нулю): \[ \sin(2x)(2 + \sin x) - \sin^2x \cos x = 0. \]

Этот шаг потребует разложения с помощью дополнительного упрощения, но аналитическое решение числителя зависит от дальнейших методов анализа.

Шаг 3: Поведение функции на границах и симметрия:

1. Значение \( y(x) \) периодично, так как присутствует тригонометрическая функция \( \sin x \).
2. Определим, есть ли особые точки, например экстремумы, точки перегиба — это помогает уточнить характер функции.

Поскольку задача требует пошагового анализа, дальнейшая детализация (исследование производной второго порядка, анализ асимптот и построение графика) может быть выполнена в зависимости от дополнительных условий.