Исследовать функцию на непрерывность и построить её график

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ

Необходимо исследовать функцию на непрерывность и построить её график.

1. Исследование на непрерывность

Функция задана кусочно:

f(x) = \begin{cases} -x^2, & x \leq 0, \ \tan{x}, & 0 < x \leq \frac{\pi}{4}, \ 2, & x > \frac{\pi}{4}. \end{cases}

Для проверки непрерывности необходимо убедиться, что:

1. В каждой части функция непрерывна.
2. В точках стыка (в данном случае x = 0 и x = \frac{\pi}{4}) выполняются условия непрерывности.

Проверка непрерывности на каждом интервале:

1. На интервале x \leq 0 функция f(x) = -x^2 — непрерывна, так как это многочлен.
2. На интервале 0 < x \leq \frac{\pi}{4} функция f(x) = \tan{x} — непрерывна, так как \tan{x} определена и непрерывна в указанном интервале.
3. На интервале x > \frac{\pi}{4} функция f(x) = 2 — непрерывна, так как это константа.

Проверка непрерывности в точках стыка:

1. В точке x = 0:

   • Слева: \lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} -x^2 = 0.
   • Справа: \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} \tan{x} = 0.
   • Значение функции: f(0) = -0^2 = 0.
   • Так как \lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = f(0), функция непрерывна в точке x = 0.

2. В точке x = \frac{\pi}{4}:

   • Слева: \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}^-} f(x) = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}^-} \tan{x} = \tan{\frac{\pi}{4}} = 1.
   • Справа: \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}^+} f(x) = \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}^+} 2 = 2.
   • Значение функции: f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \tan{\frac{\pi}{4}} = 1.
   • Так как \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}^-} f(x) \neq \lim\limits_{x \to \frac{\pi}{4}^+} f(x), функция разрывна в точке x = \frac{\pi}{4}.

2. Построение графика

График функции состоит из трёх частей:

1. Парабола f(x) = -x^2 для x \leq 0.
2. Тангенс f(x) = \tan{x} для 0 < x \leq \frac{\pi}{4}.
3. Горизонтальная прямая f(x) = 2 для x > \frac{\pi}{4}.

В точке x = \frac{\pi}{4} разрыв первого рода, так как значения слева и справа не совпадают.

График:

График можно построить, учитывая все части функции и её разрыв в точке x = \frac{\pi}{4}.