Исследовать функцию на монотонность и экстремумы

Давайте разберем поступивший вопрос.

Здесь мы имеем задачу из математики, а именно из раздела дифференциального исчисления. Нам нужно исследовать функцию $\text{(}y=\frac{1}{e^2-x}\text{)}$ на монотонность и экстремумы.

1. Обозначим функцию

Функция дана как: $\text{[}y=\frac{1}{e^2-x}.\text{]}$

Чтобы изучить монотонность и найти экстремумы, нужно найти первую производную функции $\text{(}y\text{)}$, выяснить её знак и исследовать критические точки.

2. Найдём производную $\text{(}{y}^{\prime }(x)\text{)}$

Функция $\text{(}y=\frac{1}{e^2-x}\text{)}$ — это дробно-рациональная функция. Её можно переписать как: $\text{[}y=(e^2-x{)}^{-1}.\text{]}$

Используем цепное правило для производной: $\text{[}{y}^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}[(e^2-x{)}^{-1}]=-1\cdot (e^2-x{)}^{-2}\cdot \frac{d}{dx}(e^2-x).\text{]}$

Производная от $\text{(}{e}^2-x\text{)}$ равна $\text{(}-1\text{)}$. Подставим это в формулу: $\text{[}{y}^{\prime }(x)=-1\cdot (e^2-x{)}^{-2}\cdot (-1)=\frac{1}{(e^2-x{)}^2}.\text{]}$

Итак, первая производная: $\text{[}{y}^{\prime }(x)=\frac{1}{(e^2-x{)}^2}.\text{]}$

3. Исследование на монотонность

Чтобы исследовать функцию на монотонность, нужно посмотреть на знак производной $\text{(}{y}^{\prime }(x)\text{)}$. В данном случае: $\text{[}{y}^{\prime }(x)=\frac{1}{(e^2-x{)}^2}.\text{]}$

Знаменатель $\text{(}(e^2-x{)}^2\text{)}$ всегда положителен (так как квадрат любого ненулевого числа положителен). Следовательно, $\text{(}{y}^{\prime }(x)>0\text{)}$ для всех $\text{(}x\ne e^2\text{)}$.

• Если $\text{(}{y}^{\prime }(x)>0\text{)}$, то функция $\text{(}y\text{)}$ возрастает.

Вывод по монотонности: Функция $\text{(}y(x)\text{)}$ строго возрастает на своём области определения $\text{(}x\in (-\mathrm{\infty },e^2)\cup (e^2,+\mathrm{\infty })\text{)}$.

4. Критические точки и экстремумы

Критические точки возникают там, где $\text{(}{y}^{\prime }(x)=0\text{)}$ или $\text{(}{y}^{\prime }(x)\text{)}$ не определена.

1. Рассмотрим условие $\text{(}{y}^{\prime }(x)=0\text{)}:$ $\text{[}\frac{1}{(e^2-x{)}^2}=0.\text{]}$ Это уравнение не имеет решений, так как дробь никогда не обращается в ноль (числитель всегда 1, а знаменатель всегда положителен).
2. Рассмотрим, где $\text{(}{y}^{\prime }(x)\text{)}$ не определена: $\text{[}{y}^{\prime }(x)=\frac{1}{(e^2-x{)}^2}.\text{]}$ Производная не определена, если знаменатель равен нулю. Знаменатель $\text{(}(e^2-x{)}^2=0\text{)}$ при $\text{(}x=e^2\text{)}$. Точка $\text{(}x=e^2\text{)}$ — это точка, где функция $\text{(}y(x)\text{)}$ не определена (разрыв).

5. Итог исследования

1. $\text{(}y(x)=\frac{1}{e^2-x}\text{)}$ строго возрастает на интервалах $\text{(}(-\mathrm{\infty },e^2)\cup (e^2,+\mathrm{\infty })\text{)}$.
2. У функции есть разрыв в точке $\text{(}x=e^2\text{)}$ (точка исключена из области определения).
3. Экстремумов у функции нет.