Исследовать функцию на монотонность и экстремумы

Давайте разберем поступивший вопрос.

Здесь мы имеем задачу из математики, а именно из раздела дифференциального исчисления. Нам нужно исследовать функцию \( y = \frac{1}{e^2 - x} \) на монотонность и экстремумы.

1. Обозначим функцию

Функция дана как: \[ y = \frac{1}{e^2 - x}. \]

Чтобы изучить монотонность и найти экстремумы, нужно найти первую производную функции \( y \), выяснить её знак и исследовать критические точки.

2. Найдём производную \( y'(x) \)

Функция \( y = \frac{1}{e^2 - x} \) — это дробно-рациональная функция. Её можно переписать как: \[ y = (e^2 - x)^{-1}. \]

Используем цепное правило для производной: \[ y'(x) = \frac{d}{dx} \left[ (e^2 - x)^{-1} \right] = -1 \cdot (e^2 - x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}(e^2 - x). \]

Производная от \( e^2 - x \) равна \( -1 \). Подставим это в формулу: \[ y'(x) = -1 \cdot (e^2 - x)^{-2} \cdot (-1) = \frac{1}{(e^2 - x)^2}. \]

Итак, первая производная: \[ y'(x) = \frac{1}{(e^2 - x)^2}. \]

3. Исследование на монотонность

Чтобы исследовать функцию на монотонность, нужно посмотреть на знак производной \( y'(x) \). В данном случае: \[ y'(x) = \frac{1}{(e^2 - x)^2}. \]

Знаменатель \( (e^2 - x)^2 \) всегда положителен (так как квадрат любого ненулевого числа положителен). Следовательно, \( y'(x) > 0 \) для всех \( x \neq e^2 \).

• Если \( y'(x) > 0 \), то функция \( y \) возрастает.

Вывод по монотонности: Функция \( y(x) \) строго возрастает на своём области определения \( x \in (-\infty, e^2) \cup (e^2, +\infty) \).

4. Критические точки и экстремумы

Критические точки возникают там, где \( y'(x) = 0 \) или \( y'(x) \) не определена.

1. Рассмотрим условие \( y'(x) = 0 \): \[ \frac{1}{(e^2 - x)^2} = 0. \] Это уравнение не имеет решений, так как дробь никогда не обращается в ноль (числитель всегда 1, а знаменатель всегда положителен).
2. Рассмотрим, где \( y'(x) \) не определена: \[ y'(x) = \frac{1}{(e^2 - x)^2}. \] Производная не определена, если знаменатель равен нулю. Знаменатель \( (e^2 - x)^2 = 0 \) при \( x = e^2 \). Точка \( x = e^2 \) — это точка, где функция \( y(x) \) не определена (разрыв).

5. Итог исследования

1. \( y(x) = \frac{1}{e^2 - x} \) строго возрастает на интервалах \( (-\infty, e^2) \cup (e^2, +\infty) \).
2. У функции есть разрыв в точке \( x = e^2 \) (точка исключена из области определения).
3. Экстремумов у функции нет.