Исследовать функцию на экстремумы и найти точки перегиба, если они существуют

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Исследование функции)

Нам дана функция y = 1 + 8x^2 - x^4. Требуется исследовать её на экстремумы и найти точки перегиба, если они существуют. Для этого последовательно выполним следующие шаги:

1. Найдём первую производную функции

Первая производная функции используется для нахождения критических точек, где возможны экстремумы.

 y = 1 + 8x^2 - x^4 \end{formula> Вычислим первую производную: y' = \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(8x^2) - \frac{d}{dx}(x^4) = 0 + 16x - 4x^3 

Итак, y' = 16x - 4x^3.

2. Найдём критические точки

Критические точки находятся из условия y' = 0. Решим уравнение:

 16x - 4x^3 = 0 

Вынесем общий множитель 4x за скобки:

 4x(4 - x^2) = 0 

Разделим на 4:

 x(4 - x^2) = 0 

Решим это уравнение:

1. x = 0;
2. 4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2.

Критические точки: x = 0, x = 2, x = -2.

3. Исследуем критические точки на экстремумы

Для определения характера критических точек (минимум, максимум или точка перегиба), используем вторую производную.

Вторая производная:

 y'' = \frac{d}{dx}(16x - 4x^3) = 16 - 12x^2 

Итак, y'' = 16 - 12x^2.

Проверим знак второй производной в критических точках:

1. Для x = 0:  y''(0) = 16 - 12(0)^2 = 16 > 0  Здесь y'' > 0, значит, в точке x = 0 функция имеет минимум.

2. Для x = 2:  y''(2) = 16 - 12(2)^2 = 16 - 48 = -32 < 0  Здесь y'' < 0, значит, в точке x = 2 функция имеет максимум.

3. Для x = -2:  y''(-2) = 16 - 12(-2)^2 = 16 - 48 = -32 < 0  Здесь y'' < 0, значит, в точке x = -2 функция имеет максимум.

4. Найдём точки перегиба

Точки перегиба находятся из условия y'' = 0. Решим уравнение:

 16 - 12x^2 = 0 

 12x^2 = 16 \implies x^2 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} 

Точки перегиба: x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}.

5. Итоговый ответ

1. Экстремумы:

   • Минимум: (x = 0, y = 1)
   • Максимумы: (x = 2, y = 1 + 8(2)^2 - (2)^4 = 33) и (x = -2, y = 33)

2. Точки перегиба:

   • x = \frac{2}{\sqrt{3}}, y = 1 + 8\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 - \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^4
   • x = -\frac{2}{\sqrt{3}}, аналогично.