Исследовать функцию на экстремум

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Исследование функции на экстремум)

Дана функция:
z = 4(x - y) - x^2 - y^2

1. Найдём критические точки

Для этого вычислим частные производные по x и y и приравняем их к нулю:

Частная производная по x:
\frac{\partial z}{\partial x} = 4 - 2x

Частная производная по y:
\frac{\partial z}{\partial y} = -4 - 2y

Приравняем их к нулю:
 \begin{cases} 4 - 2x = 0, \ -4 - 2y = 0. \end{cases} 

Решая систему:
 \begin{cases} x = 2, \ y = -2. \end{cases} 

Критическая точка: (2, -2).

2. Исследуем точку на экстремум с помощью второго дифференциала

Вычислим вторые частные производные:

\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -2, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -2, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0.

Вычислим определитель матрицы Гессе:
D = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \right)^2

Подставляем значения:
D = (-2) \cdot (-2) - 0^2 = 4.

Так как D > 0 и \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} < 0, то функция достигает максимума в точке (2, -2).

Ответ:

Функция имеет локальный максимум в точке (2, -2).