Исследовать функцию и построить график.

Пример 1:

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение от преподавателя:

1) Область определения функции х – любое.
2) Четность или нечетность функции. 

y(-x) = y(x), четная функция 
3) Точки пересечения кривой с осями координат. 
Пересечение с осью 0Y 

Пересечение с осью 0X 
y=0 

x₁ = 1, x₂ = -1 
4) Исследование на экстремум. 
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная. 

=  

 

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю 
x = 0 
Откуда: 
x₁ = 0 

(-∞ ;0)	(0; +∞)
f'(x) > 0	f'(x) < 0
функция возрастает	функция убывает

В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 0 - точка максимума. Y_max=1
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная. 

или 

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю. 

Откуда точки перегиба: 

 

 

f''(x) > 0	f''(x) < 0	f''(x) > 0
функция вогнута	функция выпукла	функция вогнута

5) Асимптоты кривой. 

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты: 

Находим коэффициент k: 
 = =0

Находим коэффициент b: 
  =

Получаем уравнение горизонтальной асимптоты: 
y = -1 

Пример 2:

Исследовать функцию:

y(x)= x³+3x²+20

Решение от преподавателя:

1) Область определения функции. Точки разрыва функции. 
2) Четность или нечетность функции. 
y(-x)=-x³+3x²+20 
Функция общего вида 
3) Периодичность функции. 
4) Точки пересечения кривой с осями координат. 
Пересечение с осью 0Y 
x=0, y=20 
Пересечение с осью 0X 
y=0 
x³+3x²+20=0 
x₁=-4.1572 
5) Исследование на экстремум. 
y = x^3+3*x^2+20 
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная. 
f'(x) = 3x²+6x 
или 
f'(x)=3x(x+2) 
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю 
x(x+2) = 0 
Откуда: 
x₁ = 0 
x₂ = -2 

 

 

 

(-∞ ;-2)	(-2; 0)	(0; +∞)
f'(x) > 0	f'(x) < 0	f'(x) > 0
функция возрастает	функция убывает	функция возрастает

В окрестности точки x = -2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -2 - точка максимума. В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума. 
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная. 
f''(x) = 6x+6 
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю. 
6x+6 = 0 
Откуда точки перегиба: 
x₁ = -1 

(-∞ ;-1)	(-1; +∞)
f''(x) < 0	f''(x) > 0
функция выпукла	функция вогнута

6) Асимптоты кривой. 
y = x³+3x²+20 
Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты: 

Находим коэффициент k: 


Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует. 

Пример 3:

Исследовать функцию и построить график:

Решение от преподавателя:

1.Находим область определения D(x) функции: определена на всей числовой оси.

2.Асимптоты:

Вертикальных асимптот нет.

Находим наклонную асимптоту:

следовательно график функции не имеет наклонных асимптот.

Горизонтальная асимптота y=0.

3. Функция обладает свойствами четности, а, следовательно, график функции симметричен относительно оси OX.

4.Точек пересечения с осями координат: x=0, y=2.

5.Находим точки экстремума и интервалы монотонности, точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости.

Первая производная функции:

Вторая производная функции:

Точек перегиба график функции не имеет.

На интервале  – функция возрастает.

На интервале   – функция убывает.

Точка максимума:

Функция выпуклая вверх на интервале:

Функция вогнута вниз на интервалах:

 6. Изображаем график функции:

 

 

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Исследовать функцию у = 15х² – 2х³ – 36х и построить ее график.

Решение от преподавателя:

1) Область определения функции

2) Четность или нечетность функции. 
y(-x)=2x³+15x²+36x y(x)
Функция общего вида 
3) Точки пересечения кривой с осями координат. 
Пересечение с осью 0Y            x=0, y=0 
Пересечение с осью 0X            y=0 
15x²-2x³-36x=0, x = 0 
5) Исследование на экстремум. 
y = -2x³+15x²- 36x 
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная. 
f'(x) = -6x²+30x-36 
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю 
-6x²+30x-36 = 0    или    x²+5x-6 = 0 
Откуда: 
x₁ = 2 
x₂ = 3 

(-∞ ;2)	(2; 3)	(3; +∞)
f'(x) < 0	f'(x) > 0	f'(x) < 0
функция убывает	функция возрастает	функция убывает

В окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 2 - точка минимума. 

В окрестности точки x = 3 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 3 - точка максимума. 

Y_min=y(2)=-28,     Y_max=y(3)=-27

2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции.

 Вторая производная    f''(x) = -12x+30 
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю. 
-12x+30 = 0 
Откуда точки перегиба: 
x₁ = 5/2    y(5/2)=-27,5

(-∞ ;5/2)	(5/2; +∞)
f''(x) > 0	f''(x) < 0
функция вогнута	функция выпукла
6) Асимптоты кривой.  y = 15x2-2x3-36x  Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде                                          y = kx + b. Находим коэффициент k:  Поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.

Пример 6:

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию y = f(x). Построить график этой функции, используя результаты исследования.

Решение от преподавателя:

1) Область определения функции. Точки разрыва функции. 

Все действительные числа кроме х = 2
2) Четность или нечетность функции. 

Функция общего вида 
3) Периодичность функции. 
4) Точки пересечения кривой с осями координат. 
Пересечение с осью 0Y 
x=0, y=0 
Пересечение с осью 0X 
y=0 

x = 0, x = 0 
5) Исследование на экстремум. 
y = (3*x-2*x^2)/(x-2) 
Найдем точки разрыва функции. 
x₁ = 2 
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная. 

или 

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю 
-2x²+8x-6 = 0 
Откуда: 
x₁ = 1 
x₂ = 3 

(-∞ ;1)	(1; 2)	(2; 3)	(3; +∞)
f'(x) < 0	f'(x) > 0	f'(x) > 0	f'(x) < 0
функция убывает	функция возрастает	функция возрастает	функция убывает

В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 - точка минимума. В окрестности точки x = 3 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 3 - точка максимума. 
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная. 

или 

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю. 

Для данного уравнения корней нет. 

(-∞ ;2)	(2; +∞)
f''(x) > 0	f''(x) < 0
функция вогнута	функция выпукла

6) Асимптоты кривой. 

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты: 

Находим коэффициент k: 


Находим коэффициент b: 


Получаем уравнение наклонной асимптоты: 
y = -2x-1 
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва: 
x₁ = 2 
Находим переделы в точке x=2 


x₁ = 2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой. 

Пример 7:

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение от преподавателя:

 

Пример 8:

Исследовать функцию и построить её схематический график.

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Исследовать заданную функцию и начертить ее график.

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Провести полное исследование функции и построить график.

Решение от преподавателя:

1) Область определения функции.  
2) Четность или нечетность функции. 

y(-x) = -y(x), нечетная функция 
3) Точки пересечения кривой с осями координат. 
Пересечение с осью 0Y 
Нет пересечений. 
Пересечение с осью 0X 
y=0 

4) Исследование на экстремум. 
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная. 


Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю 
x²+3 = 0 
Для данного уравнения корней нет. 

(-∞ ;0)	(0; +∞)
f'(x) > 0	f'(x) > 0
функция возрастает	функция возрастает

2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная. 


Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю. 

Для данного уравнения корней нет. 

(-∞ ;0)	(0; +∞)
f''(x) > 0	f''(x) < 0
функция вогнута	функция выпукла

6) Асимптоты кривой. 

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты: 

Находим коэффициент k: 


Находим коэффициент b: 


Получаем уравнение наклонной асимптоты: 
y = x 
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва: 
x₁ = 0 
Находим переделы в точке x=0 


x₁ = 0 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой. 

Пример 11:

Провести полное исследование и построить график функции .

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение от преподавателя:

График:

Пример 12:

Провести полное исследование функции

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Провести полное исследование и построить график функции .

Решение от преподавателя:

Пример 14:

Исследовать функцию и построить график:

Решение от преподавателя:

 

Пример 15:

Провести полное исследование и построить график функции. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

 

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Провести полное исследование и построить график функции.

Решение от преподавателя:

Пример 18:

Исследовать данную функцию и построить график:

Решение от преподавателя:

1) Область определения функции – множество всех действительных чисел: .

2) Чётность и нечётность функции:

Функция не обладает свойствами чётности или нечётности. Следовательно, график функции не будет симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат.

3) Периодичности функции.

Функция непериодическая, так как является многочленом.

4) Непрерывность функции.

На всей области определения функция непрерывна как многочлен.

5) Интервалы монотонности и точки экстремума.

Вычислим производную функции и найдём критические точки.

 Точки  - критические.

Они делят область определения функции на интервалы:

Определим знак производной на каждом из интервалов:

 .

Следовательно, на интервале  функция возрастает;

.

Следовательно, на интервале  функция убывает;

.

Следовательно, на интервале  функция возрастает;

При переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус. Следовательно, - точка максимума функции. При переходе через точку производная меняет свой знак с минуса  на плюс. Следовательно, - точка минимума функции.

6) Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Найдём производную второго порядка от функции

7) Точки пересечения графика с осями координат.

8) График функции. 

Пример 19:

Исследовать функцию и построить график: 

Решение от преподавателя:

Пример 20:

Для данной функции  требуется:

а) найти точки разрыва;

б) найти скачок функции в каждой точке разрыва;

в) сделать чертеж.

Решение от преподавателя:

При х=0

Разрыва нет

При х=2

Разрыв есть

Определяем пределы слева и справа от данной точки

Т. к. оба пределы конечны, но равны между собой, то получили точку разрыва 1-го рода – точку скачка

Скачок функции составляет 8-3=5 единиц

 

Пример 21:

Исследовать функцию и построить график

y = 2x·lnx

Решение от преподавателя:

1. Область определения -  точек разрыва нет.

2. Область значений - .

3. функция общего вида, пересекает оси координат в точке (1, 0).

4. интервалы монотонности:

Корень х=1\е, это минимум. Функция убывает на участке (0, 1\е) и возрастает на остальной области определения.

5. интервалы выпуклости, вогнутости.

Корней нет – нет и точек перегиба.

Вторая производная положительна на всей области определения (x>0) – функция вогнутая.

6. Асимптоты.

Вертикальных –нет.

Поскольку

, горизонтальной асимптоты нет.

Проверим, есть ли наклонная асимптота вида y=kx+b.

Найдем , наклонной также нет.

7. строим график:

 

Пример 22:

Исследовать функцию и построить ее график:

 

Решение от преподавателя:

\

Пример 23:

Исследовать функция  и построить её график.

Решение от преподавателя:

Пример 24:

Исследовать функцию и построить график:

y= 

Решение от преподавателя:

1) Область определения функции   x€(-∞,-4)Ù(-4,+∞)

2) Четность или нечетность функции. 

y(-x)≠y(x),   y(-x)≠ - y(x),  
Функция общего вида 

3) Точки пересечения кривой с осями координат. 
Пересечение с осью 0Y 

Пересечение с осью 0X: y=0 

4) Исследование на экстремум. 
Найдем точки разрыва функции. 
x₁ = -4 
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная. 
 

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю 

x²+8x+15 = 0 

Откуда: 

x₁ = -5 x₂ = -3 

(-∞ ;-5)	(-5; -4)	(-4; -3)	(-3; +∞)
f'(x) > 0	f'(x) < 0	f'(x) < 0	f'(x) > 0
функция возрастает	функция убывает	функция убывает	функция возрастает

В окрестности точки x = -5 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -5 - точка максимума.

Y_max = y(-5) = -10

В окрестности точки x = -3 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = -3 - точка минимума. 

Y_min = y(-3) = -6
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции.

Вторая производная. 
 

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю. 

Для данного уравнения корней нет. 

(-∞ ;-4)	(-4; +∞)
f''(x) < 0	f''(x) > 0
функция выпукла	функция вогнута

5) Асимптоты кривой. 

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты: 

Находим коэффициент k: 

Находим коэффициент b: 


Получаем уравнение наклонной асимптоты: 
y = x-4 
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва: 
x₁ = -4 
Находим переделы в точке x=-4 


x₁ = -4 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.