Исследовании указанного ряда на сходимость

Это задача по математическому анализу, а именно изучению ряда — числового ряда.

Наша цель состоит в исследовании указанного ряда на сходимость. Задан ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5 + \sin^2(n)}{\sqrt[5]{n^7} + 1} \]

Преобразуем немного выражение в знаменателе для более удобного анализа: \[ \sqrt[5]{n^7} = (\sqrt[5]{n})^7 = n^{7/5} \]

Тогда ряд примет вид: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5 + \sin^2(n)}{n^{7/5} + 1} \]

Для определения сходимости ряда будем использовать признак сравнения с известным сходящимся или расходящимся рядом. Для этого сравним наше выражение со сходящимся рядом.

Рассмотрим асимптотическое поведение членов ряда при \( n \to \infty \). Обозначим \(a_n = \frac{5 + \sin^2(n)}{n^{7/5} + 1}\). Заметим, что \( \sin^2(n) \) ограничена (0 ≤ \( \sin^2(n) \) ≤ 1), поэтому добавление этого термана не сильно влияет на оценку. При этом знаменатель \( n^{7/5} + 1 \) при больших \(n\) доминируется членом \(n^{7/5}\), потому что \(1\) по сравнению с \(n^{7/5}\) стремится к 0.

Поэтому для больших \(n\) можно сказать: \[ a_n \approx \frac{5}{n^{7/5}} \]

Теперь сравним это с рядом \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} \] где \(p > 1\) сходится, а когда \(p \leq 1\) расходится. Выбираем \(p = 7/5\)

Так как \(p = 7/5 > 1\), то ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{7/5}}\) сходится. И так как \(\frac{5}{n^{7/5}}\) тоже сходится к 0 быстрее, чем \(\frac{1}{n^{7/5}}\), мы можем сказать, что и наш ряд также сходится по признаку сравнения.

Таким образом, можно заключить, что данный ряд \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5 + \sin^2(n)}{n^{7/5} + 1} \] сходится.