Исследовании указанного ряда на сходимость

Это задача по математическому анализу, а именно изучению ряда — числового ряда.

Наша цель состоит в исследовании указанного ряда на сходимость. Задан ряд: $\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{5+{\sin }^2(n)}{\sqrt[5]{n^7}+1}\text{]}$

Преобразуем немного выражение в знаменателе для более удобного анализа: $\text{[}\sqrt[5]{n^7}=(\sqrt[5]{n}{)}^7=n^{7/5}\text{]}$

Тогда ряд примет вид: $\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{5+{\sin }^2(n)}{n^{7/5}+1}\text{]}$

Для определения сходимости ряда будем использовать признак сравнения с известным сходящимся или расходящимся рядом. Для этого сравним наше выражение со сходящимся рядом.

Рассмотрим асимптотическое поведение членов ряда при $\text{(}n\to \mathrm{\infty }\text{)}$. Обозначим $\text{(}{a}_n=\frac{5+{\sin }^2(n)}{n^{7/5}+1}\text{)}$. Заметим, что $\text{(}{\sin }^2(n)\text{)}$ ограничена (0 ≤ $\text{(}{\sin }^2(n)\text{)}$ ≤ 1), поэтому добавление этого термана не сильно влияет на оценку. При этом знаменатель $\text{(}{n}^{7/5}+1\text{)}$ при больших $\text{(}n\text{)}$ доминируется членом $\text{(}{n}^{7/5}\text{)}$, потому что $\text{(}1\text{)}$ по сравнению с $\text{(}{n}^{7/5}\text{)}$ стремится к 0.

Поэтому для больших $\text{(}n\text{)}$ можно сказать: $\text{[}{a}_n\approx \frac{5}{n^{7/5}}\text{]}$

Теперь сравним это с рядом $\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}\text{]}$ где $\text{(}p>1\text{)}$ сходится, а когда $\text{(}p\le 1\text{)}$ расходится. Выбираем $\text{(}p=7/5\text{)}$

Так как $\text{(}p=7/5>1\text{)}$, то ряд $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{7/5}}\text{)}$ сходится. И так как $\text{(}\frac{5}{n^{7/5}}\text{)}$ тоже сходится к 0 быстрее, чем $\text{(}\frac{1}{n^{7/5}}\text{)}$, мы можем сказать, что и наш ряд также сходится по признаку сравнения.

Таким образом, можно заключить, что данный ряд $\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{5+{\sin }^2(n)}{n^{7/5}+1}\text{]}$ сходится.