Исследование сходимости данных рядов

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математический анализ
Раздел: Исследование рядов на сходимость

Рассмотрим исследование сходимости данных рядов.

(а) Исследуем ряд:

 \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{3n^2 + 2n + \ln^2 n}{n^3 + 5\sqrt{\ln n}} 

Анализ поведения общего члена ряда

Рассмотрим главные слагаемые в числителе и знаменателе при больших ( n ):

• В числителе: ( 3n^2 + 2n + \ln^2 n \approx 3n^2 ).
• В знаменателе: ( n^3 + 5\sqrt{\ln n} \approx n^3 ).

Таким образом, асимптотика общего члена:  \frac{3n^2}{n^3} = \frac{3}{n}. 

Этот член эквивалентен гармоническому ряду ( \sum \frac{1}{n} ), который расходится.
Применяя признак сравнения, получаем, что данный ряд ведет себя как гармонический, а значит расходится.

(б) Исследуем ряд:

 \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{4}{3\sqrt{n} + 2} 

Анализ на абсолютную сходимость

Рассмотрим модуль общего члена:  \left| \frac{4}{3\sqrt{n} + 2} \right|. 

Для больших ( n ) имеем:  \frac{4}{3\sqrt{n} + 2} \approx \frac{4}{3\sqrt{n}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}. 

Рассмотрим ряд:  \sum \frac{1}{\sqrt{n}}. 

Этот ряд является расходящимся (p-рядом с ( p = \frac{1}{2} < 1 )), следовательно, данный ряд не сходится абсолютно.

Исследование знакопеременного ряда (признак Лейбница)

Проверим условия признака Лейбница:

1. Последовательность  a_n = \frac{4}{3\sqrt{n} + 2}  убывает при больших ( n ).
2.  \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0 .

Так как оба условия выполнены, то по признаку Лейбница данный ряд условно сходится.

Ответ:

(а) Ряд расходится.
(б) Ряд условно сходится.