Исследование функций на точки экстремума

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (исследование функций на экстремумы)

Для исследования функций на наличие точек экстремума необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции \( f'(x) \).
2. Найти критические точки, приравняв первую производную к нулю \( f'(x) = 0 \) или найдя точки, где производная не существует.
3. Определить знак второй производной в найденных критических точках, чтобы выяснить, является ли точка минимумом, максимумом или точкой перегиба.

Рассмотрим первый пример:

\[ f(x) = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{4}x^4 - 3x^2 - 9 \]

1. Найдем первую производную:

\[ f'(x) = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 + \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 3 \cdot 2x \]

Упростив это:

\[ f'(x) = x^4 + x^3 - 6x \]

2. Найдем критические точки:

Для этого приравняем первую производную к нулю:

\[ x^4 + x^3 - 6x = 0 \]

Вынесем \( x \) за скобку:

\[ x(x^3 + x^2 - 6) = 0 \]

Это уравнение имеет решение \( x = 0 \) и нужно дополнительно решить кубическое уравнение:

\[ x^3 + x^2 - 6 = 0 \]

Найдем корни этого уравнения (используя метод подстановки или численные методы). Также важно учесть кратность корней.

3. Определим экстремумы:

Найдём вторую производную и проверим, какие из критических точек дают экстремум.

Такой же подход следует использовать для остальных функций. Если нужно исследовать конкретные функции (например, все задание), пожалуйста, уточните, и я выполню подробные шаги для каждой из них.