Исследование функций, точки перегиба, выпуклость и вогнутость графика функции

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (исследование функций, точки перегиба, выпуклость и вогнутость графика функции)

Условие задачи

Нужно найти точки перегиба и промежутки выпуклости функции:

y = xe^{-4x}

Что такое точки перегиба и выпуклость функции?

1. Выпуклость и вогнутость:

   • Функция выпуклая вверх (как «чаша») там, где вторая производная положительна: y''(x) > 0.
   • Функция выпуклая вниз (как «горка») там, где вторая производная отрицательна: y''(x) < 0.

2. Точка перегиба — это точка, в которой график функции меняет свою «форму» (из выпуклой вверх в выпуклую вниз или наоборот).

   • Это происходит, когда вторая производная меняет знак (из «+» в «-» или из «-» в «+»).

Решение

1. Найдем первую производную

Функция дана как y = xe^{-4x}.
Используем правило производной произведения:

(uv)' = u'v + uv'

Здесь:

• u = x, тогда u' = 1.
• v = e^{-4x}, тогда v' = (-4)e^{-4x} (по правилу производной экспоненты).

Теперь считаем:

y' = (x)' e^{-4x} + x (e^{-4x})'
y' = 1 \cdot e^{-4x} + x \cdot (-4 e^{-4x})
y' = e^{-4x} - 4x e^{-4x}
y' = e^{-4x} (1 - 4x)

2. Найдем вторую производную

Теперь дифференцируем y' = e^{-4x} (1 - 4x) снова, используя правило произведения:

y'' = (e^{-4x})' (1 - 4x) + e^{-4x} (1 - 4x)'

Считаем отдельно:

• (e^{-4x})' = -4e^{-4x}
• (1 - 4x)' = -4

Подставляем:

y'' = (-4e^{-4x}) (1 - 4x) + e^{-4x} (-4)
y'' = -4e^{-4x} (1 - 4x) - 4e^{-4x}
y'' = -4e^{-4x} (1 - 4x + 1)
y'' = -4e^{-4x} (2 - 4x)
y'' = -8e^{-4x} (1 - 2x)

3. Найдем точки перегиба

Точки перегиба — это точки, где вторая производная равна нулю:

y'' = -8e^{-4x} (1 - 2x) = 0

Так как экспонента e^{-4x} никогда не равна нулю, то:

-8e^{-4x} (1 - 2x) = 0 \Rightarrow 1 - 2x = 0

Решаем уравнение:

1 - 2x = 0
2x = 1
x = \frac{1}{2}

4. Определяем выпуклость

Рассмотрим знаки y'' на промежутках:

• x < \frac{1}{2}
  Подставим x = 0 в y'':

  y''(0) = -8e^{0} (1 - 0) = -8 (отрицательно) → выпуклость вниз.

• x > \frac{1}{2}
  Подставим x = 1:

  y''(1) = -8e^{-4} (1 - 2) = 8e^{-4} (положительно) → выпуклость вверх.

Ответ

• Точка перегиба: x = \frac{1}{2}.
• Функция выпуклая вниз на (-\infty; \frac{1}{2}).
• Функция выпуклая вверх на (\frac{1}{2}; +\infty).