Исследование функций нескольких переменных

Определение предмета и раздела

Данное задание относится к математическому анализу, а именно к исследованию функций нескольких переменных. В пункте 2 требуется определить область определения функции.

Решение пункта 2

Дана функция:

 f(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2 - 4} 

Шаг 1: Определение области определения функции

Областью определения функции называется множество всех значений переменных x и y, при которых функция имеет смысл.

Функция содержит дробь, а дробь не определена, если знаменатель равен нулю. Поэтому необходимо найти, при каких значениях x и y знаменатель обращается в ноль:

 x^2 + y^2 - 4 = 0 

Решим это уравнение:

 x^2 + y^2 = 4 

Это уравнение окружности радиуса 2 с центром в точке (0,0). При этих значениях знаменатель становится равным нулю, а значит, функция не определена.

Шаг 2: Запись области определения

Функция определена во всех точках, кроме тех, где знаменатель равен нулю. То есть:

 x^2 + y^2 \neq 4 

Это означает, что область определения функции — это все точки плоскости, кроме окружности радиуса 2 с центром в начале координат.

Ответ:
Область определения функции:

 D(f) = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \neq 4 \} 

Графически это означает, что функция определена внутри и снаружи окружности, но не на самой окружности.

Дополнительные пояснения

• Если бы знаменатель не содержал переменных (например, был бы просто числом), функция была бы определена на всей плоскости.
• Если бы в знаменателе была корневая функция, дополнительно учитывали бы, что выражение под корнем должно быть неотрицательным.
• В данном случае исключаем только окружность, так как в этих точках знаменатель становится равным нулю, что делает дробь неопределенной.