Исследование функций на непрерывность и нахождение точек разрыва

Данное задание относится к предмету математика, разделу математический анализ, а конкретно к теме исследование функций на непрерывность и нахождение точек разрыва.

Нам дана функция: \[ y = \frac{(x + 5)(x - 4)}{x^2 - 25} \]

Шаг 1: Упростим знаменатель

Знаменатель функции \( x^2 - 25 \) — это разность квадратов: \[ x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \]

Теперь перепишем всю функцию: \[ y = \frac{(x + 5)(x - 4)}{(x - 5)(x + 5)} \]

Шаг 2: Сокращение

Мы видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель \( (x + 5) \), при условии что \( x \neq -5 \) (поскольку при \( x = -5 \) знаменатель обращается в ноль). Сокращаем общий множитель: \[ y = \frac{x - 4}{x - 5}, \quad x \neq -5 \]

• При \( x = 5 \) знаменатель обращается в ноль, а числитель остаётся 1, что соответствует точке разрыва 1 рода (устранимая).
• При \( x = -5 \) знаменатель обращается в 0, а также числитель становится нулём (в исходной форме), потому что \( x + 5 = 0 \). Это соответствует точке разрыва 2 рода, так как при \( x = -5 \) мы не можем определить функцию даже после упрощения.

Ответ: Точка разрыва второго рода — это \( x = -5 \).

Теперь функция \( y = \frac{x - 4}{x - 5} \) определена для всех значений \( x \), кроме \( x = 5 \) и \( x = -5 \), так как: